송파동고3수학과외

송파동 고3 수학과외에서 확인한 부정적분의 첫 단계

송파동의 잠실여자고등학교, 가락고등학교, 일신여자상업고등학교 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다를 수 있다. 이 사례의 학생은 해설과 자신의 풀이를 비교하면서도 틀린 이유를 단순히 “계산 실수”라고 적고 넘어갔다. 실제 문제는 적분상수와 초기조건을 적용하는 순서를 놓친 데 있었다.

적분식을 얻은 뒤 조건을 대입하지 않은 풀이

문제에서 함수 f가

f'(x)=6x-4, f(1)=5

를 만족할 때 f(x)를 구하라고 했다. 학생은 첫 줄에 다음과 같이 적었다.

∫(6x-4)dx = 6x²-4x+C

이 식은 틀렸다. ∫6x dx=3x²이므로 6x²라고 쓴 순간부터 원래 도함수와 맞지 않는다. 학생의 답은

f(x)=6x²-4x+5

였지만, 이를 미분하면 f'(x)=12x-4가 되어 주어진 식 6x-4와 다르다. 또한 적분상수 C를 임의로 5로 정한 것도 조건을 적용한 결과가 아니다.

틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 연결하기

• 첫 줄에 밑줄: 6x를 적분한 결과를 6x²로 쓴 부분에 표시한다.
• 변수 관계 확인: 부정적분 결과를 미분했을 때 반드시 6x-4가 되어야 하며, f(1)=5는 상수 C를 결정하는 별도의 조건임을 메모한다.
• 식 수정: f(x)=3x²-4x+C로 고친다.
• 초기조건 대입: 5=3-4+C이므로 C=6이다.

따라서 정확한 함수는

f(x)=3x²-4x+6

이다. 학생은 답만 고치는 대신 먼저 미분하여

f'(x)=6x-4

를 확인하고, 다시 f(1)=3-4+6=5를 계산했다. 원함수의 미분과 초기조건 대입을 모두 통과해야 답을 확정하도록 풀이 기록을 바꾼 것이다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 유형을 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.

g'(x)=4x³+2x, g(-1)=3일 때 g(x)를 구하여라.

먼저

g(x)=x⁴+x²+C

이고, x=-1을 대입하면

3=1+1+C, 따라서 C=1이다.

즉 g(x)=x⁴+x²+1이다. 마지막으로 미분하면 g'(x)=4x³+2x, 원래 조건에 대입하면 g(-1)=1+1+1=3이므로 두 조건이 모두 맞는다. 이제 학생은 적분 답을 적은 직후 미분과 조건 대입을 먼저 수행하며, 근거 없는 “실수” 대신 실패한 줄과 수정 이유를 남긴다.