석촌동고2수학과외

석촌동 고2수학과외: 로그부등식은 진수 조건부터 시작해야 합니다

석촌역과 잠실한솔아파트 주변에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습 시간에는 풀이의 첫 줄을 점검하는 습관이 특히 중요합니다. 송파구 통학권의 고2 수학 문제에서는 계산보다 정의역을 빠뜨려 해의 범위를 잘못 정하는 장면이 자주 드러납니다.

“x>6”은 맞아도 첫 조건이 빠진 풀이

다음 부등식을 풀어 보겠습니다.

log₂(x−4)>1

학생의 답안에는 곧바로 다음과 같이 적혀 있었습니다.

log₂(x−4)>1
x−4>2
x>6

결과 자체는 맞지만, 로그가 실제로 정의되기 위한 조건을 먼저 확인하지 않았습니다. 진수는 양수여야 하므로

x−4>0, 즉 x>4

를 먼저 적어야 합니다. 밑 2는 1보다 큰 수이므로 로그함수는 증가하고, 그 뒤에

x−4>2¹ ⟺ x>6

을 얻습니다. 최종 해 x>6은 이미 x>4를 만족하지만, 진수 조건을 생략하면 다른 문제에서 허용되지 않는 값을 답에 포함할 수 있습니다.

조건을 식 위에 고정하고 다시 계산하기

답안에 로그식이 보이면 식 아래가 아니라 식 위에 정의조건을 먼저 표시합니다.

log₂(x−4)>1
진수 조건: x−4>0 ⟺ x>4

그 후 밑의 범위를 확인하고 부등식을 변형합니다. 풀이 중 정의조건을 쓰지 않은 줄이 발견되면 그 줄만 지우지 말고, 옆에 x−4>0을 보완한 뒤 전체 해가 조건을 만족하는지 다시 확인합니다. 이렇게 해야 계산 결과와 로그의 정의역이 연결됩니다.

밑이 1보다 작아도 진수 조건을 놓치지 않는지 확인

조건을 바꾸어 다음 문제를 풉니다.

log_1/3(x+2)≤−1

먼저 진수 조건은

x+2>0 ⟺ x>−2

입니다. 밑 1/3은 0과 1 사이이므로 로그함수는 감소합니다. 따라서 부등호 방향이 바뀌어

x+2≥(1/3)⁻¹=3

이 되고, x≥1을 얻습니다. 마지막으로 x≥1은 진수 조건 x>−2를 만족하므로 해는

x≥1

입니다. 이때도 진수 조건을 거꾸로 확인해, 구한 해가 로그식 안에 실제로 들어갈 수 있는지 점검해야 합니다.