석촌동 통학 후에도 이어지는 부정적분 조건 훈련
석촌동에서 석촌역을 거쳐 송파구 내 통학권 학교로 이동한 뒤 자습을 시작하는 고3 학생은 짧은 시간 안에 풀이를 정리해야 했다. 이 학생은 계산 자체보다 원시함수의 조건과 적분상수를 분리해 해석하는 연습이 필요한 상태였다.
적분상수를 빠뜨린 첫 풀이
문제: 함수 f(x)=3x2-4x+1의 모든 원시함수를 구하여라.
학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
∫(3x2-4x+1)dx=x3-2x2+x
이 식은 오답이다. 미분하면 원래 함수가 되지만, 모든 원시함수를 나타내지 못한다. 원시함수는 서로 상수만큼 차이 날 수 있으므로 정답은 다음과 같다.
F(x)=x3-2x2+x+C
실제로 F′(x)=3x2-4x+1이고, C는 미분할 때 사라지는 임의의 상수다. 따라서 특정 함수 하나만 제시한 학생의 식은 원시함수 중 하나일 뿐, 전체 해를 표현한 식이 아니다.
조건이 주어지면 적분상수를 따로 결정하기
초기 조건이 붙은 문제에서는 먼저 일반형을 만든 뒤 조건을 대입한다.
F′(x)=6x-4이고 F(2)=5일 때 F(x)를 구하여라.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 변수와 조건의 관계를 다시 확인했다.
- 기본 적분: F(x)=3x2-4x+C
- 조건 대입: F(2)=12-8+C=5
- 상수 결정: C=1
- 수정된 식: F(x)=3x2-4x+1
마지막으로 미분하여 F′(x)=6x-4를 확인하고, F(2)=12-8+1=5인지 역계산했다. 이 과정을 통해 적분상수는 장식이 아니라 조건에 따라 정해지는 변수임을 확인했다.
계수를 바꾼 독립 검증
G′(x)=8x+6이고 G(-1)=4일 때 G(x)를 구하여라.
학생은 먼저 G(x)=4x2+6x+C로 두었다. 조건을 대입하면
G(-1)=4-6+C=4이므로 C=6이다.
따라서 정답은 G(x)=4x2+6x+6이다. 미분하면 G′(x)=8x+6이고, G(-1)=4-6+6=4이므로 계수와 조건을 모두 만족한다.