삼전동 고2수학과외, 로그방정식은 해를 구한 뒤 원식까지 확인해야 합니다
삼전역과 잠실현대아파트 생활권에서 귀가 후 학교 프린트와 과제를 처리할 때, 로그방정식은 풀이 속도보다 마지막 확인 절차가 중요합니다. 배명고등학교 학생의 풀이를 점검하는 과정에서도 해를 계산한 뒤 바로 다음 문제로 넘어가며 원식 검산을 생략하는 장면이 나타났습니다.
x=5를 구하고도 답을 확정하지 않은 풀이
다음 식을 풀어 보겠습니다.
\(\log_2(x-3)=1\)
로그의 정의에 따라
\[ x-3=2^1=2 \]
이므로 \(x=5\)입니다. 그런데 풀이가
“\(x=5\)”
에서 끝나고, \(x-3>0\)인지 또는 원래 식에 실제로 성립하는지 확인하지 않은 경우가 있습니다. 이 식에서는
\[ x-3=5-3=2>0,\qquad \log_2(5-3)=\log_2 2=1 \]
이므로 \(x=5\)가 원식의 해임을 확인할 수 있습니다. 답이 맞더라도 검산 과정이 빠져 있으면 계수나 부호가 달라진 문제에서 잘못된 후보를 걸러내기 어렵습니다.
조건·계산·검산을 나누어 오류 위치 찾기
풀이를 세 칸으로 나누어 적습니다.
- 조건: 밑 \(2>0,\ 2\ne1\), 진수 \(x-3>0\), 따라서 \(x>3\)
- 계산: \(x-3=2\), \(x=5\)
- 검산: \(\log_2(5-3)=\log_2 2=1\)
각 칸에 맞지 않는 부분에 표시를 합니다. \(x=5\)를 구했지만 원식에 대입하지 않았다면 계산 오류가 아니라 검산 누락입니다. 반대로 \(x=2\)를 답으로 적었다면 \(x-3=-1\)이 되어 로그의 진수 조건을 만족하지 못하므로 조건과 계산을 함께 다시 확인해야 합니다.
표현과 부호가 바뀐 식에서 후보를 걸러내기
같은 절차를 다음 문제에 적용합니다.
\(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=1\)
먼저 진수 조건을 적으면
\[ x-1>0,\quad x-3>0 \]
이므로 \(x>3\)입니다. 로그의 합을 정리하면
\[ \log_2\bigl((x-1)(x-3)\bigr)=1 \]
따라서
\[ (x-1)(x-3)=2 \] \[ x^2-4x+1=0 \] \[ x=2\pm\sqrt3 \]
여기서 두 값을 모두 답으로 적으면 안 됩니다. \(2-\sqrt3<3\)이므로 진수 조건 \(x>3\)을 만족하지 않습니다. \(2+\sqrt3\)만 남기고 원식에 대입합니다.
\[ (x-1)(x-3) =(1+\sqrt3)(\sqrt3-1)=2 \]
따라서
\[ \log_2(x-1)+\log_2(x-3) =\log_2 2=1 \]
이므로 최종 해는 \(\boxed{x=2+\sqrt3}\)입니다. 이때 조건 칸에서 탈락시킨 값과 원식 검산까지 각각 남겨야 합니다.
새 식에서 검산 순서가 유지되는지 확인하기
마지막에는 숫자와 표현을 바꾼 식을 풀이합니다.
\(\log_3(2x-1)-\log_3(x-2)=1\)
조건은 \(2x-1>0,\ x-2>0\)이므로 \(x>2\)입니다. 차의 로그를 이용하면
\[ \log_3\frac{2x-1}{x-2}=1 \]
따라서
\[ \frac{2x-1}{x-2}=3,\qquad 2x-1=3x-6 \] \[ x=5 \]
조건 \(5>2\)를 확인한 뒤 원식에 대입하면
\[ \log_3 9-\log_3 3=2-1=1 \]
입니다. 이 문제에서도 조건, 계산, 검산 세 칸을 스스로 채우고, 오류가 생기면 세 칸 전체를 다시 쓰지 않고 해당 칸만 고칩니다. 풀이 시간 제한 없이 이 순서가 새로운 계수와 부호에서도 유지되는지가 정확한 독립 적용의 기준입니다.