삼전동고1수학과외

삼전동고1수학과외, 치환한 고차방정식을 원래 문자로 되돌리는 풀이

삼전역과 잠실현대아파트 생활권에서 귀가한 뒤 학교 과제와 시험 준비를 이어갈 때, 고1 수학의 고차방정식은 풀이 줄을 빠뜨리기 쉽다. 특히 식의 모양이 낯설어지면 치환한 문자로 인수분해한 뒤 그 값을 원래 문자로 복원하지 않는 오류가 나타난다.

t의 해가 x의 답은 아니다

예를 들어 다음 식을 보자.

x⁴ - 7x² + 12 = 0

x²를 t로 두면 t² - 7t + 12 = 0이므로

(t - 3)(t - 4) = 0

따라서 t = 3 또는 t = 4이다. 그러나 여기서 답을 x = 3, 4라고 쓰면 안 된다. t = x²였으므로 각각을 원래 문자로 되돌려야 한다.

x² = 3에서 x = ±√3, x² = 4에서 x = ±2를 얻는다. 최종 해는 x = -2, -√3, √3, 2이다.

풀이에서 빠진 것은 계산보다 대응 관계였다

관찰된 풀이에서는 새 문자와 원래 문자의 대응을 적지 않은 채 치환식만 계산했다. t의 두 값을 구한 다음 그대로 답란에 남겼고, 다음 줄에서 치환·인수분해·검산 순서를 다시 확인하지 않았다.

t = x² → t의 해 구하기 → x²의 값으로 해석하기 → x로 복원하기 → 원래 식에 검산하기

이 순서가 끊기면 t = 3, 4는 구했어도 문제에서 요구한 x의 해는 완성되지 않는다. 현재 상태는 인수분해 자체를 수행하지 못하는 것이 아니라, 새 변수의 결과를 원래 문제의 변수로 연결하는 단계가 아직 안정되지 않은 경우에 가깝다.

두 번의 치환을 답안에 남기는 연습

풀이 첫 줄에 반드시 t = x²를 적고, t의 해를 구한 뒤에는 별도의 줄을 둔다.

t = 3 또는 4
x² = 3 또는 x² = 4
x = ±√3 또는 x = ±2

그다음 원래 식에 대입해 확인한다. x = 2이면 2⁴ - 7·2² + 12 = 16 - 28 + 12 = 0이고, x = √3이면 9 - 21 + 12 = 0이다. 음수인 -2와 -√3도 제곱과 네제곱만 포함된 식에서는 같은 값으로 계산되므로 모두 해가 된다.

모양이 달라져도 같은 순서를 찾기

예를 들어 (x + 1)⁴ - 5(x + 1)² + 4 = 0에서는 t = (x + 1)²로 치환한다. 그러면 t² - 5t + 4 = 0, 즉 (t - 1)(t - 4) = 0이다.

t = 1, 4에서 (x + 1)² = 1 또는 4이므로 x + 1 = ±1 또는 ±2이다. 따라서 해는 x = 0, -2, 1, -3이다. 식에 등장하는 제곱의 대상이 x가 아니라 x + 1로 바뀌었지만, 치환식 기록과 원래 문자 복원은 그대로 유지된다.

선행 문제에서는 풀이 순서를 바꾸어 판단하는지 확인한다

고2 과정을 준비한다는 이유로 고차방정식만 반복하지 않고, 중2 선행 맛보기 문제에서는 그림의 위치가 달라진 도형을 제시한다. 이때 학생이 그림의 겉모양만 따라가지 않고 길이, 각, 평행 조건을 직접 표시하는지 살핀다.

예컨대 두 직선이 평행하다는 표시와 한 각의 크기가 주어졌다면, 대응하는 각이나 엇각 관계 중 필요한 성질을 골라야 한다. 도형의 방향이 바뀌어도 조건을 표시한 뒤 필요한 성질을 선택한다면, 현행 문제에서는 치환 후 복원하고 선행 문제에서는 조건 확인 후 성질을 고르는 식으로 학습 순서를 스스로 조정하고 있는지 확인할 수 있다.

삼전동에서 귀가 시각과 과제량을 함께 점검할 때도 풀이의 마지막 줄을 생략하지 않는지가 기준이 된다. 새 변수의 해를 구한 뒤 원래 문자로 되돌리고, 바뀐 그림에서는 길이·각·평행 조건을 표시한 뒤 필요한 성질을 선택하는 과정을 각각 끝까지 수행해야 한다.