운동 그래프의 변곡점과 최댓값을 따로 읽는 연습
삼전동에서 귀가 후 문제를 풀던 고3 학생은 운동 물체의 위치 함수에서 변곡점 조건과 최적화 조건을 한 줄에 처리하려 했다. 특히 해가 없는 경우에도 직전 문제의 부호 패턴을 그대로 적용해 그래프의 높이를 잘못 판단했다.
변곡점은 도함수의 차수를 확인해야 한다
물체의 위치를
f(t) = -t3 + 6t2 - 9t + 4 (0 ≤ t ≤ 4)
라고 하자. 속도는 f′(t), 가속도는 f″(t)이므로 변곡점은 f′(t)가 아니라 f″(t)의 부호가 바뀌는 지점에서 찾는다.
f′(t) = -3t2 + 12t - 9 = -3(t - 1)(t - 3)
f″(t) = -6t + 12 = -6(t - 2)
학생의 오답: 변곡점 조건 f′(t) = 0에서 t = 1, 3을 얻고, 두 점을 변곡점으로 표시했다.
이 식은 틀렸다. f′(t) = 0은 그래프의 접선 기울기가 0인 극대·극소 후보를 찾는 조건이고, 변곡점은 f″(t) = 0과 오목·볼록 방향의 변화를 확인해야 한다. 따라서 변곡점은 t = 2이다.
최댓값과 해의 존재 여부를 구분하기
f′(t)의 부호는 다음과 같다.
- 0 < t < 1에서 f′(t) < 0
- 1 < t < 3에서 f′(t) > 0
- 3 < t < 4에서 f′(t) < 0
따라서 t = 1에서 극소, t = 3에서 극대가 된다. 실제 함수값은
f(0) = 4, f(1) = 0, f(3) = 4, f(4) = 0
이므로 구간 전체의 최댓값은 4, 최솟값은 0이다. 그러므로 f(t) = 5는 이 구간에서 해가 없다.
학생은 처음에 f(3) = 4를 확인하지 않고 “극대점이므로 높이가 계속 증가한다”고 결론냈다. 수정할 때는 오답 줄에 별표를 표시한 뒤, ① f′와 f″의 역할 구분, ② 정의역 확인, ③ 임계점과 양 끝점 대입, ④ 함수값의 범위 확인 순서로 다시 계산했다. 마지막에는 t = 1, 3을 원래 함수에 대입해 각각 0, 4가 나오는지 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 최댓값이 아니라 최솟값을 구하고, 함수와 구간도 바꿔 확인한다.
g(t) = -t3 + 9t2 - 24t + 20 (1 ≤ t ≤ 5)
g′(t) = -3(t - 2)(t - 4), g″(t) = -6t + 18
따라서 변곡점은 g″(t) = 0에서 t = 3이고, 극값 후보는 t = 2, 4이다. 함수값을 비교하면
g(1) = 4, g(2) = 0, g(4) = 4, g(5) = 0
따라서 구간에서 최솟값은 0이다. 또한 g(t) = -1은 해가 없다. 새 계수와 구간을 사용했지만, 도함수의 차수에 따라 변곡점과 극값을 분리하고 끝점까지 대입해야 한다는 동일한 원리를 독립적으로 확인할 수 있다.