문정동고2수학과외에서 확인한 로그방정식의 마지막 한 줄
문정고등학교의 학교 프린트와 지필평가 범위가 겹치는 시기에는 로그방정식을 푼 뒤 답만 적고 넘어가는 풀이가 자주 발견된다. 문정법조단지와 송파파인타운 생활권에서 평일 귀가 후 풀이 시간이 제한되더라도, 로그 문제에서는 계산 한 줄보다 해가 원래 식과 정의조건을 만족하는지 확인하는 과정이 중요하다.
x=5를 얻은 뒤에도 풀이가 끝나지 않는 이유
다음 식을 살펴보자.
\(\log_2(x-3)=1\)
로그의 정의에 따라 지수형으로 바꾸면
\[ x-3=2^1=2 \]
이므로 \(x=5\)를 얻는다. 이때 밑 \(2\)는 \(0보다 크고 1이 아니므로 사용할 수 있다. 또한 진수 조건은
\[ x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3 \]
이다. 따라서 \(x=5\)는 허용되는 값이다. 원식에 직접 대입해도
\[ \log_2(5-3)=\log_2 2=1 \]
이 되어 식을 만족한다.
정답은 구했지만 근거가 비어 있던 풀이
풀이 중 학생이 다음 줄까지만 남긴 경우가 있었다.
\[ \log_2(x-3)=1 \Rightarrow x-3=2 \Rightarrow x=5 \]
계산 자체는 맞지만, 진수 \(x-3\)가 양수여야 한다는 조건과 원식 대입이 빠져 있다. 특히 로그방정식에서는 변형 과정에서 얻은 후보를 곧바로 해로 확정하지 않는다. 먼저 \(x>3\)인지 확인하고, 마지막에 원식에 대입해야 한다.
답안 옆에 남길 검산 두 줄
재풀이할 때는 계산을 다시 길게 반복하지 않고, 구한 값 옆에 다음 두 줄을 붙인다.
\[ \text{정의조건: }x-3>0\Rightarrow x>3 \]
\[ x=5\text{ 대입: }\log_2(5-3)=\log_2 2=1 \]
이렇게 쓰면 후보 \(x=5\)가 진수 조건을 만족하는지와 원래 등식이 성립하는지를 각각 확인할 수 있다. \(x=2\)처럼 계산 과정에서 잘못 얻은 값이 있다면 \(2-3=-1\)이 되어 로그의 진수가 음수이므로 실수 범위의 해가 될 수 없다.
선택지 없이 조건과 대입을 스스로 쓰는 확인 문제
다음 로그방정식을 서술형으로 풀어 보자.
\(\log_3(2x-1)=2\)
먼저 진수 조건은
\[ 2x-1>0\Rightarrow x>\frac12 \]
이고, 지수형으로 바꾸면
\[ 2x-1=3^2=9\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5 \]
이다. 마지막으로
\[ \log_3(2\cdot5-1)=\log_3 9=2 \]
를 적어야 한다. 이처럼 숫자와 밑이 달라져도 진수 조건 설정 → 방정식 계산 → 원식 대입의 세 판단을 모두 남겼을 때 로그방정식의 해를 제대로 확정할 수 있다.