문정동 고3수학과외에서 그래프의 변화와 굽힘을 분리하기
문정동의 문정고등학교를 중심으로 학습할 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 놓고 계획을 세워야 한다. 문정법조단지와 송파파인타운1단지 생활권에서 귀가 후 시간이 제한된 학생이라면, 긴 문제를 많이 풀기보다 그래프의 기준이 되는 변수와 조건을 먼저 고정하는 연습이 효과적이다. 잠실여자고등학교·영동일고등학교 등은 같은 송파구의 참고 학교일 뿐 문정동 소재 학교로 구분하지 않는다.
도함수의 부호와 오목·볼록을 혼동한 풀이
학생은 다음 함수의 그래프 개형을 묻는 문제에서 계산 중간에 두 정보를 섞었다.
f(x)=x3-3x2+2
먼저 도함수는
f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)
이므로 임계점은 x=0, 2이다. 부호를 조사하면
- x<0에서 f'(x)>0
- 0<x<2에서 f'(x)<0
- x>2에서 f'(x)>0
따라서 x=0에서 극대, x=2에서 극소이다. 실제 함수값은 f(0)=2, f(2)=-2이다.
학생의 오답: f'(x)의 부호가 +, -, +로 바뀌므로 그래프는 x=0에서 위로 오목하고 x=2에서 아래로 오목하다.
이 식은 틀린 판단이다. f'(x)의 부호는 함수가 증가하는지 감소하는지를 결정할 뿐 오목·볼록을 결정하지 않는다. 오목·볼록은 변화율 f'(x)가 증가하는지 감소하는지, 즉 이계도함수의 부호로 판단해야 한다.
변수 관계를 다시 확인한 수정 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, ‘f'의 부호는 함수값의 증감, f''의 부호는 기울기의 증감’이라고 조건을 나누어 적었다. 이어서
f''(x)=6x-6=6(x-1)
을 계산했다. 따라서 x<1에서는 f''(x)<0이므로 아래로 오목하고, x>1에서는 f''(x)>0이므로 위로 오목하다. 변곡점은 x=1이며 f(1)=0이므로 변곡점은 (1, 0)이다.
수정한 개형을 검산하기 위해 극대·극소의 함수값을 다시 대입했다. f(0)=2, f(2)=-2이므로 증가·감소 결과와도 맞는다. 또한 x=1에서 f''의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 변곡점 판단도 성립한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 외우지 않았는지 다음 문제로 확인했다.
g(x)=2x3-9x2+12x-1
g'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)이므로 g는 x<1에서 증가, 1<x<2에서 감소, x>2에서 증가한다. 따라서 x=1에서 극대, x=2에서 극소이다.
한편 g''(x)=12x-18이므로 x<3/2에서는 아래로 오목하고 x>3/2에서는 위로 오목하다. 변곡점의 y좌표는
g(3/2)=2(27/8)-9(9/4)+18-1=-5/4
이므로 변곡점은 (3/2, -5/4)이다. 학생은 이번에는 g'의 부호표와 g''의 부호표를 따로 작성해 극값과 오목·볼록을 구분하여 완성했다.