문정동고1수학과외: 함수값 전 정의역부터 적는 습관
문정고등학교 프린트의 복잡한 함수식에서는 계산 속도보다 입력값이 허용되는지 먼저 판단해야 한다. 문정법조단지나 송파파인타운 생활권에서 귀가 후 짧게 공부하더라도, 풀이 첫 줄에 제한조건을 적는 습관이 있으면 뒤의 계산을 안전하게 이어 갈 수 있다.
약분한 뒤에도 남아 있는 제외값
다음 함수가 주어졌다고 하자.
f(x) = (x² - 9)/(x - 3)
학생은 분자를 (x - 3)(x + 3)으로 인수분해한 뒤, 곧바로 f(x) = x + 3이라고 적었다. 따라서 f(3) = 6이라고 계산했다.
그러나 원래 식의 분모는 x - 3이므로 x ≠ 3이라는 제한조건이 먼저 생긴다. 약분하면 식의 모양은 x + 3으로 바뀌지만, 원래 함수에서 x=3을 사용할 수 있게 되는 것은 아니다. 실제로 원래 식에 대입하면 0/0이 되어 함수값이 정의되지 않는다. 따라서 이 함수는 x ≠ 3에서만 f(x)=x+3으로 계산하며, f(3)은 존재하지 않는다.
방정식의 해를 구할 때도 첫 줄은 제한조건
이번에는 다음 방정식을 살펴본다.
(x + 1)/(x - 2) = 3/(x - 2) + 1
분모 때문에 먼저 x ≠ 2를 기록한다. 양변에 x-2를 곱하면
x + 1 = 3 + x - 2
즉 x+1=x+1이므로 이 식은 제한조건을 만족하는 모든 실수에서 성립한다. 해는 x ≠ 2인 모든 실수이다.
제한조건을 적지 않고 분모를 약분한 학생은 ‘모든 실수’라고만 답할 수 있다. 이 답은 x=2까지 포함하므로 원래 방정식의 해와 다르다. 틀린 계산보다 앞 단계의 조건 누락이 문제였던 셈이다.
풀이 종이에 남겨야 할 세 줄
- 분모, 근호 등에서 입력값의 제한조건을 먼저 찾는다.
- 식의 변형과 약분을 진행하되 원래 식에서 제외된 값은 따로 보존한다.
- 얻은 해를 제한조건과 대조하고, 필요하면 원래 식에 대입한다.
예를 들어 g(t)=√(t-1)/(t+2)라면 근호 조건에서 t≥1, 분모 조건에서 t≠-2를 얻는다. 두 조건을 함께 적용하면 실제 정의역은 t≥1이다. 학생이 식에 숫자를 넣기 전에 이 조건을 적었다면 계산 가능한 값과 불가능한 값을 구분할 수 있다.
문정동의 학교 일정에 맞춘 짧은 점검
학교 프린트와 교과서 복습 시간이 짧은 날에는 풀이 전체를 다시 쓰기보다, 함수식 옆에 ‘분모 0 금지’, ‘근호 안 0 이상’처럼 제한조건을 표시하게 한다. 정답을 맞혔더라도 이 표시가 빠졌다면 해당 판단은 아직 불안정한 것으로 기록한다. 반대로 정의역을 먼저 쓰고 계산한 뒤 조건까지 확인했다면 그 풀이를 유지한다.
숫자를 모두 쓰지 않고 필요한 관계만 고르기
복습 마지막에는 다음과 같은 새 문제를 제시한다.
함수 h(x)=(x+5)/(x-4)에서 x=7일 때의 함수값을 구하여라. 이 함수는 2025년에 만든 학습지의 3쪽에 실려 있고, 문제를 푸는 데 사용할 수 있는 자는 10개이다.
학생이 문장 속 2025, 3, 10을 모두 식에 넣지 않고, 함수식의 분모에서 x≠4를 기록한 뒤 입력값 x=7이 허용되는지 확인하는지 본다. 이후
h(7)=(7+5)/(7-4)=12/3=4
로 계산하면 된다. 여기서 필요한 수량 관계는 함수식과 입력값뿐이다. 날짜, 페이지, 주변 물건의 개수는 구할 값과 관계가 없으므로 제외해야 한다. 이처럼 새로운 문장에서도 제한조건을 먼저 세우고 필요한 정보만 골라 식을 만들면, 복잡한 방정식의 정의역 판단이 실제 풀이 행동으로 자리 잡았는지 확인할 수 있다.