가락동고2수학과외: 로그방정식의 실근 개수를 그래프로 확인하는 풀이
가락동은 가락시영아파트와 가락동극동아파트처럼 주거지가 넓게 형성되어 있고, 학교와 집 사이의 이동 거리도 학생마다 다릅니다. 그래서 짧은 학습 시간에도 풀이의 어느 줄에서 판단이 끊겼는지 확인하는 과정이 중요합니다. 이번에는 로그방정식에서 계산식만 보고 실근 개수를 정해 버린 사례를 살펴봅니다.
log₂x=x−1에서 빠진 한 줄
문제는 다음 방정식의 실근 개수를 묻는 것이었습니다.
log2x=x−1
먼저 로그의 정의에 따라 x>0이어야 합니다. 그런데 풀이에는 곧바로 “로그함수와 일차함수의 식이 다르므로 교점은 하나”라는 판단이 적혀 있었습니다. 식의 모양만 비교해서는 교점 개수를 알 수 없습니다.
두 함수의 차를
f(x)=log2x−x+1
로 두면, 방정식의 실근은 f(x)=0인 x입니다. 실제로
- f(1)=0−1+1=0
- f(2)=1−2+1=0
따라서 x=1과 x=2는 각각 실근입니다. 두 근을 찾았다고 바로 끝내지 않고, 다른 근이 더 있는지도 확인해야 합니다.
그래프가 알려 주는 교점의 최대 개수
f(x)의 도함수는
f′(x)=1/(x ln 2)−1
입니다. f′(x)=0이면 x=1/ln2이고, x>0에서 f′(x)는 이 값을 기준으로 양수에서 음수로 바뀝니다. 따라서 f(x)는 한 번 증가한 뒤 한 번 감소합니다. 그래프는 x축과 많아야 두 번 만날 수 있습니다.
이미 x=1, 2에서 x축과 만났으므로 실근은 정확히 2개입니다. 이때 그래프를 직접 그리면 x=0의 오른쪽에서 함수값이 음수로 내려가고, 중간에 올라온 뒤 다시 내려가는 모양이 되어 두 교점을 확인할 수 있습니다.
계산 전에 네모로 고정할 확인 조건
비슷한 문제를 풀 때는 다음 세 항목을 식 옆에 먼저 적습니다.
□ 로그의 정의역: x>0
□ 교점 개수를 볼 함수: f(x)=log2x−x+1
□ 증가·감소 또는 그래프로 교점의 최대 개수 확인
그 뒤 x=1, 2를 대입하고, f′(x)의 부호 변화를 확인합니다. 이 순서를 지키면 찾은 근의 개수와 전체 실근 개수를 혼동하지 않게 됩니다.
계수가 바뀐 식에서 다시 확인하기
다음 식으로 조건을 바꾸어 확인합니다.
log2x=x−2
이번에는
g(x)=log2x−x+2
로 둡니다. 정의역은 여전히 x>0이고,
g′(x)=1/(x ln2)−1
이므로 증가 후 감소하는 구조도 같습니다. g(4)=2−4+2=0이므로 x=4는 한 실근입니다. 또 g(0.25)=−2−0.25+2=−0.25, g(0.5)=−1−0.5+2=0.5이므로 0.25와 0.5 사이에 한 근이 존재합니다. 증가 후 감소하는 그래프이므로 실근은 총 2개입니다.
계수가 바뀌어 간단한 정수근 하나만 보이는 상황에서도 정의역, 그래프의 변화, 교점의 최대 개수를 차례로 적었다면 실근 하나를 빠뜨리지 않고 판단할 수 있습니다.