가락동 고3수학과외에서 확인한 최대 부피 풀이의 첫 오류
가락동 생활권에서 통학하는 학생은 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 복습 가능한 시간이 달라질 수 있다. 해당 지역명 주소에 고등학교가 확인된 것은 아니며, 가락고등학교·영동일고등학교·덕수고등학교·보성고등학교·오금고등학교 등 송파구 내 학교를 통학권 참고 자료로만 보았다. 이 학생은 짧은 복습 시간에 답만 다시 맞추려는 경향이 있어, 최대값을 구하기 전에 식과 실제 치수의 관계를 점검하는 연습이 필요했다.
부피식보다 먼저 확인할 것은 치수의 범위
가로 20cm, 세로 12cm인 직사각형 판에서 네 모서리에 한 변이 \(x\)cm인 정사각형을 잘라 상자를 만들 때 부피를 최대화한다고 하자. 상자의 높이는 \(x\), 밑면의 가로와 세로는 각각 \(20-2x\), \(12-2x\)이므로
\(V(x)=x(20-2x)(12-2x)\)
가 먼저 세워져야 한다. 길이가 양수여야 하므로 조건은
\(0<x<6\)
이다. 학생은 전개 과정에서 다음과 같이 적었다.
\(V(x)=x(20-x)(12-x)=x^3-32x^2+240x\)
이 식은 오답이다. 정사각형을 한 모서리에서 잘라내면 가로와 세로 양쪽 끝에서 각각 \(x\)씩 줄어들기 때문에 \(20-x\), \(12-x\)가 아니라 \(20-2x\), \(12-2x\)가 되어야 한다. 실제 식을 전개하면
\(V(x)=x(240-64x+4x^2)=4x^3-64x^2+240x\)
이고, 변화율은
\(V'(x)=12x^2-128x+240=4(3x^2-32x+60)\)
이다. \(V'(x)=0\)에서
\(x=\dfrac{16\pm2\sqrt{19}}{3}\)
를 얻는다. 이 중 \(\dfrac{16+2\sqrt{19}}{3}\)은 약 \(8.24\)로서 \(0<x<6\)을 벗어나므로 사용할 수 없다. 따라서 가능한 극값 후보는
\(x=\dfrac{16-2\sqrt{19}}{3}\approx2.43\)
뿐이다. 양 끝에서 부피는 \(0\)이고 내부 후보에서 양수이므로 이 후보가 최대 부피를 만든다.
틀린 줄을 표시하고 실제 치수로 역검산하기
학생은 다음 날 답만 고치지 않고, 풀이의 첫 불일치 지점을 표시했다.
- 틀린 줄: \(20-2x\), \(12-2x\)를 \(20-x\), \(12-x\)로 바꾼 부분
- 조건 확인: 한 변 \(x\)인 정사각형이 양쪽 모서리에서 잘리므로 각 길이는 \(2x\)만큼 감소
- 식 수정: \(V=x(20-2x)(12-2x)\)
- 범위 확인: \(20-2x>0,\ 12-2x>0\)이므로 \(0<x<6\)
- 역검산: \(x\approx2.43\)을 대입하면 밑면은 약 \(15.14\text{cm}\times7.14\text{cm}\)로 실제 가능한 치수
반대로 \(x\approx8.24\)를 대입하면 세로 길이 \(12-2x\)가 음수가 된다. 따라서 미분식의 해라는 이유만으로 최대값 후보로 채택할 수 없으며, 극값 후보가 원래 문제의 치수 범위에 들어가는지 먼저 확인해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 가로 18cm, 세로 10cm인 판에서 네 모서리에 한 변 \(t\)인 정사각형을 자른다고 하자. 새 부피는
\(W(t)=t(18-2t)(10-2t)\)
이고 가능한 범위는 \(0<t<5\)이다. 전개하면
\(W(t)=4t^3-56t^2+180t\)
이므로
\(W'(t)=12t^2-112t+180=4(3t^2-28t+45)\)
이다. \(W'(t)=0\)에서 \(t= \dfrac{14\pm\sqrt{61}}{3}\)을 얻지만, 약 \(7.27\)인 해는 \(0<t<5\)를 벗어난다. 따라서
\(t=\dfrac{14-\sqrt{61}}{3}\approx2.06\)
만 실제 후보이다. 새 숫자에서도 학생은 미분 결과보다 먼저 밑면의 두 변 \(18-2t\), \(10-2t\)를 확인하고, 후보를 범위에 대입해 가능한 치수인지 검산했다.