가락동고1수학과외, 문자 계수에 따라 달라지는 방정식의 차수
식에 가장 큰 지수가 보인다고 해서 방정식의 차수가 항상 결정되는 것은 아니다. 기준 문자를 x로 정했다면, 각 항의 계수가 0인지 먼저 확인해야 한다. 가락동 주거지에서 귀가 후 짧은 시간에 학교 수학을 복습하는 경우에도 이 한 줄의 확인이 빠지면 차수 판단부터 어긋날 수 있다.
x³이 보인다는 이유만으로 삼차방정식일까
다음 식을 보자.
(k-2)x3+4x-8=0
학생은 k의 값을 따로 살피지 않고 “x3이 있으므로 삼차방정식”이라고 적었다. 그러나 k=2이면 x3의 계수는 k-2=0이 된다. 식은
0·x3+4x-8=0, 즉 4x-8=0
으로 바뀌므로 x에 대한 일차방정식이다. 실제 해는 x=2이다. 따라서 문자를 포함한 계수가 0이 될 수 있는 조건을 확인하지 않고 차수를 정하면, 식에 나타난 지수와 실제 방정식의 차수를 혼동하게 된다.
기준 문자를 표시하고 계수의 0 여부를 읽기
차수는 식에 등장하는 숫자의 크기가 아니라, 기준으로 정한 문자의 가장 높은 지수와 그 항의 계수에 의해 정해진다. 위 식에서는 먼저 x에 밑줄을 긋고, x3의 계수인 k-2를 확인한다.
- k≠2이면 k-2≠0이므로 x에 대한 삼차방정식이다.
- k=2이면 x3항이 사라져 4x-8=0이므로 일차방정식이다.
이때 “문자 k가 있으니 문자에 대한 차수를 구한다”라고 해석하면 안 된다. 차수를 묻는 기준 문자가 x라면 k는 계수의 조건을 결정하는 문자일 뿐이다. 답안 여백에는 기준 문자 x → 최고차항 계수 k-2 → k=2에서 0처럼 짧게 표시하면 다음 계산으로 넘어가기 전에 예외를 확인할 수 있다.
계수 하나가 더 사라지는 경우까지 구분하기
예외 조건을 한 번 확인했다고 모든 경우가 끝나는 것은 아니다. 예를 들어
(a-1)x2+(b+3)x+6=0
에서 a=1이면 이차항이 사라진다. 이때 b≠-3이면 식은 일차방정식이지만, a=1이고 b=-3이면
6=0
이 되어 해가 없는 식이 된다. 즉 문자 계수의 값을 대입한 뒤에는 실제로 남은 항을 다시 적어야 한다. 최고 지수만 지워졌다고 자동으로 일차방정식이라고 단정하지 않고, 다음 항의 계수와 상수항까지 확인하는 과정이 필요하다.
오답식을 고치는 짧은 풀이 기록
학교 프린트에서 (m+5)x2-3x+1=0, m=-5를 만났을 때는 다음 순서로 적는다.
- 기준 문자를 x로 표시한다.
- x2의 계수 m+5에 m=-5를 대입한다.
- m+5=0이므로 이차항이 사라진다고 기록한다.
- 남은 식 -3x+1=0을 보고 일차방정식이라고 판단한다.
학생이 처음처럼 “x2가 있으므로 이차방정식”이라고 쓰지 않고, 계수 계산과 남은 식을 연달아 적는지가 수정 여부를 보여준다. 단순히 차수만 고쳐 쓰는 것이 아니라, 어떤 항이 사라졌는지 식으로 남겨야 판단 근거가 분명해진다.
일주일 뒤 조건을 바꾼 확인 문제
오답을 바로 같은 형태로 반복하지 않고 일주일 뒤 다음 문항을 제시한다.
(t-4)x3+(t+1)x2-2=0에서 t=4일 때 x에 대한 방정식의 차수를 구하여라.
t=4를 대입하면
0·x3+5x2-2=0
이므로 남은 식은 5x2-2=0, 즉 이차방정식이다. 여기서 학생이 x3만 보고 삼차라고 하지 않고, t-4=0을 표시한 뒤 남은 최고차항을 찾는다면 수정한 풀이 행동을 새로운 조건에 적용한 것이다.
수행평가에서 받은 “기준 문자를 먼저 쓰고 사라지는 항을 확인하라”는 피드백도 이 문항의 계산·자료 해석·풀이 설명에 다시 활용하는지 살핀다. 시험 직전 새 교재의 문제를 무작정 늘리기보다, 아직 표시와 판정을 완성하지 못한 문항을 먼저 선택해 그 확인 흔적이 남는지를 기준으로 학습 상태를 판단한다.