송내동 고2수학과외: 분수형 수열의 일반항을 변형 조건에 맞게 세우기
송내동의 송내고등학교와 부천고등학교처럼 학교별 내신 일정과 프린트 구성이 다르면, 예제의 풀이 순서를 기억하는 것만으로는 새 문항에 대응하기 어렵다. 특히 분수형 수열은 분자와 분모, 계수와 부호가 각각 어떤 항번호와 연결되는지 확인해야 한다.
1/2, 2/3, 3/4를 보고 바로 식을 쓰면 생기는 문제
수열의 첫 세 항이
1/2, 2/3, 3/4, …
일 때 일반항은 분자의 규칙과 분모의 규칙을 따로 읽어야 한다.
- 분자: 1, 2, 3, …이므로 n
- 분모: 2, 3, 4, …이므로 n+1
따라서
an = n/(n+1)
이다. 예를 들어 n=4를 대입하면 a4=4/5가 되어 네 번째 항의 규칙과 일치한다.
관찰된 풀이에서는 이 분해를 말로 확인하지 않고, 직전 예제에서 사용한 식의 모양을 그대로 옮겼다. 그 결과 분자와 분모의 항번호 관계를 따로 보지 않은 채 일반항을 적어, n=3을 대입해도 주어진 세 번째 항과 맞지 않는 식을 남기는 장면이 나타났다. 일반항은 모양이 비슷한지보다 각 항에 실제로 대입되는지가 먼저 검산되어야 한다.
계수와 부호가 바뀐 수열에서 규칙을 다시 읽기
다음 수열을 보자.
−2/3, 4/5, −6/7, 8/9, …
분자의 절댓값은 2, 4, 6, 8이므로 2n이다. 분모는 3, 5, 7, 9이므로 2n+1이다. 부호는 홀수 번째 항에서 음수, 짝수 번째 항에서 양수이므로 (−1)n으로 표현할 수 있다.
따라서 일반항은
an = (−1)n · 2n/(2n+1)
이다. 실제로
a1 = −2/3, a2 = 4/5, a3 = −6/7
이므로 세 항 모두 주어진 수열과 일치한다. 여기서 분자의 2n만 맞추고 부호를 빠뜨리면 a1을 양수로 계산하게 된다. 반대로 (−1)n+1을 쓰면 첫 항의 부호가 양수가 되므로 역시 원래 수열과 맞지 않는다.
기호의 뜻을 말한 뒤 식을 한 줄만 수정하기
풀이할 때 먼저 다음처럼 말로 기준을 정한다.
“n은 항의 번호이고, 분자의 절댓값은 항번호의 2배, 분모는 항번호의 2배보다 1 큰 수이며, 부호는 홀수 항에서 음수이다.”
이 설명에 맞춰 식을 한 줄로 바꾸면
an = (−1)n · 2n/(2n+1)
이 된다. 이후에는 일반항을 확정하기 전에 n=1, n=2를 대입한다.
n=1: (−1)·2/3 = −2/3
n=2: 1·4/5 = 4/5
두 항이 모두 맞으므로 분자·분모 규칙과 부호 규칙이 식에 반영되었음을 확인할 수 있다. 단순히 앞선 예제의 n/(n+1) 구조를 복사한 것이 아니라, 새 수열의 각 기호가 무엇을 의미하는지 식으로 옮긴 것이다.
표의 항번호를 일반항으로 옮기는 검증
마지막에는 식이 아니라 표로 조건을 제시한다.
| 항번호 n | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| an | 3/4 | −6/5 | 9/6 | −12/7 |
표에서 분자의 절댓값은 3n, 분모는 n+3이고, 부호는 홀수 항에서 양수이므로
an = (−1)n+1 · 3n/(n+3)
로 세운다. n=1을 대입하면 3/4, n=2를 대입하면 −6/5가 되어 표와 일치한다. 이 검증에서 항번호를 분자와 분모에 각각 대입하고 부호까지 확인했다면, 이전처럼 예제의 식을 그대로 적용한 행동이 반복되지 않은 것이다.