송내동 고3 수학과외에서 확인한 분포 변화와 분산 계산
송내동의 송내고등학교와 부천고등학교를 비롯해 소사구의 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르므로, 같은 확률과 통계 단원도 조건이 바뀐 표를 다시 읽는 연습이 필요하다. 이번에는 학생이 문자의 이름과 분포값이 달라진 문제에서 이전 평균을 그대로 사용한 사례를 다뤘다.
표의 확률을 먼저 읽지 않아 생긴 오답
확률변수 X가 다음과 같은 분포를 가진다고 하자.
- X=1, 2, 4
- P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.5, P(X=4)=0.3
학생은 먼저 평균을 다음과 같이 구했다.
E(X)=1×0.2+2×0.5+4×0.3=2.3
따라서 분산은
V(X)=1²×0.2+2²×0.5+4²×0.3-2.3²=7-5.29=1.71
이고 표준편차는 √1.71이다.
그런데 다음 문제에서 확률변수의 값이 Y=2X-1로 바뀌었다.
- Y=1, 3, 7
- P(Y=1)=0.2, P(Y=3)=0.5, P(Y=7)=0.3
학생은 이전 평균 2.3을 그대로 사용해 다음과 같이 계산했다.
V(Y)=1²×0.2+3²×0.5+7²×0.3-2.3²=21.8-5.29=16.51
이 식은 틀린 식이다. Y의 값이 X와 달라졌으므로 평균도 달라진다. 확률만 같고 변수의 값이 변한 경우에는 이전 평균을 재사용할 수 없다.
조건표와 식을 다시 맞추는 수정 과정
학생은 오답 줄에 표시한 뒤 다음 세 가지를 체크했다.
- ☑ 확률의 합: 0.2+0.5+0.3=1
- ☑ 새 확률변수의 값: 1, 3, 7
- ☑ 표의 값과 평균·분산 식의 값이 같은지 확인
새 평균부터 다시 계산하면
E(Y)=1×0.2+3×0.5+7×0.3=3.6
따라서 정확한 분산은
V(Y)=1²×0.2+3²×0.5+7²×0.3-3.6²=21.8-12.96=8.84
이고 표준편차는 √8.84이다.
또한 Y=2X-1이므로 분산의 변환 법칙에 따라
V(Y)=V(2X-1)=2²V(X)=4×1.71=6.84
가 되어야 한다. 위 직접 계산과 값이 다르므로, 앞의 제곱평균 계산을 다시 확인해야 한다. 실제로
E(Y²)=1²×0.2+3²×0.5+7²×0.3=0.2+4.5+14.7=19.4
이므로
V(Y)=19.4-3.6²=19.4-12.96=6.44
이다. 변환 법칙과도 일치하지 않으므로 원래 X의 제곱평균을 다시 계산한다.
E(X²)=1²×0.2+2²×0.5+4²×0.3=0.2+2+4.8=7
V(X)=7-2.3²=1.71이지만, Y=2X-1일 때 Y의 값은 1, 3, 7이 아니라 1, 3, 7이 맞고, E(Y)=2E(X)-1=3.6이다. 직접 계산한 E(Y²)는 19.4가 아니라 0.2+4.5+14.7=19.4이므로 V(Y)=6.44이다. 변환식은 V(Y)=4V(X)=6.84이므로 원래 X의 평균을 다시 확인하면 E(X)=0.2+1+1.2=2.4이다.
따라서 처음 평균의 덧셈이 잘못되었다. 정확한 계산은
E(X)=1×0.2+2×0.5+4×0.3=2.4
V(X)=7-2.4²=1.24
이고,
V(Y)=4×1.24=4.96
이다. 새 표에서도 E(Y)=3.6, E(Y²)=19.4이므로 V(Y)=19.4-12.96=6.44가 되어 다시 불일치한다. 이는 Y=2X-1일 때 X=4에서 Y=7이지만 X의 확률 계산과 평균 계산을 포함해 표를 재검토해야 함을 보여준다.
정확한 X 평균은 0.2+1+1.2=2.4, Y 평균은 0.2+1.5+2.1=3.8이다. 따라서
V(Y)=19.4-3.8²=19.4-14.44=4.96
이며 표준편차는 √4.96이다. 학생은 마지막에 대입과 변환식을 함께 확인해 계산 오류를 고쳤다.
새 이항분포로 독립 검증하기
같은 표를 반복하지 않고, 이번에는 성공확률이 바뀐 이항분포로 절차를 검증했다. 처음 Z~B(8, 0.25)이면
E(Z)=8×0.25=2, V(Z)=8×0.25×0.75=1.5
이다. 조건을 바꿔 W~B(8, 0.4)로 만들면 이전 평균 2를 사용하지 않고 첫 줄부터 다시 계산해야 한다.
E(W)=8×0.4=3.2, V(W)=8×0.4×0.6=1.92
따라서 표준편차는 √1.92이다. 학생은 새 성공확률에 맞춰 평균과 분산을 다시 정하고, 분산이 0 이상인지와 표준편차의 제곱이 1.92인지 역계산해 조건 변경이 풀이에 반영됐는지 확인했다.