송내동고1수학과외, 직선의 식에 점을 대입해 포함 여부 확인하기
송내고등학교나 부천고등학교의 학교 프린트를 정리할 때 직선의 방정식을 구하는 계산만 맞히고 끝내면, 구한 식이 실제 조건을 만족하는지 놓치기 쉽다. 송내주공단지나 송내역 주변에서 짧은 시간에 복습하더라도 마지막에 점을 식에 대입하는 과정까지 답안에 남겨야 한다.
정답을 덮어쓰기 전에 멈춰야 하는 줄
예를 들어 두 점 A(2, 5), B(6, 13)을 지나는 직선의 방정식을 구한다고 하자. 기울기는
m = (13 - 5) ÷ (6 - 2) = 2
이므로 직선의 식을 y = 2x + 1로 정한다. 그런데 답안에서 이 식을 적은 뒤, 문제에 함께 제시된 점 C(4, 9)가 직선 위에 있는지 묻는다면 바로 좌표를 대입해야 한다.
y = 2x + 1에 x = 4를 넣으면 y = 2×4 + 1 = 9이다. 실제 점 C의 y좌표도 9이므로 C는 이 직선 위에 있다.
관찰된 풀이에서는 답지를 본 뒤 틀린 줄을 표시하지 않고 최종 식만 다시 적었다. 혼자 풀 때도 “점 C를 대입해 확인했다”는 표시가 없었다. 이는 직선의 방정식을 구하는 공식은 따라가지만, 식과 좌표가 동시에 성립하는지 판정하는 단계가 아직 풀이에 연결되지 않은 상태다.
식이 맞는지 좌표쌍으로 판정하기
점 (a, b)가 직선 y = mx + n 위에 있다는 뜻은 x좌표와 y좌표를 각각 식에 넣었을 때 등식이 성립한다는 의미다. 따라서 b = ma + n을 확인한다.
반대로 점 D(3, 8)을 y = 2x + 1에 대입하면 우변은 2×3 + 1 = 7이다. 점의 y좌표 8과 다르므로 D는 직선 위에 있지 않다. x좌표만 식에 넣고 계산 결과가 나왔다는 이유로 포함된다고 판단하면 안 된다.
중간식을 남겨 오류가 시작된 위치를 찾기
연습할 때는 최종 답만 고치지 않고 다음처럼 줄을 나눈다.
- 기울기: (13 - 5)/(6 - 2) = 2
- 절편: 5 = 2×2 + n에서 n = 1
- 직선식: y = 2x + 1
- 점 확인: 9 = 2×4 + 1
대입 결과가 맞지 않으면 마지막 줄만 지우지 않는다. 기울기 계산, 절편을 구한 식, 직선의 식 중 어느 줄에서 값이 달라졌는지 거꾸로 확인한다. 예를 들어 y = 2x - 1이라고 잘못 적었다면 C를 대입했을 때 2×4 - 1 = 7이 되어 y좌표 9와 어긋난다. 이 검산은 잘못된 식을 정답처럼 덮어쓰지 않고 오류 위치를 드러낸다.
조건을 바꾼 도형으로 확인하는 방법
같은 두 점을 반복하지 않고, 두 점 P(-1, 4), Q(3, 12)를 지나는 직선을 새로 제시한다. 기울기는 (12 - 4)/(3 - (-1)) = 2이고, P를 이용하면 4 = 2×(-1) + n이므로 n = 6이다. 따라서 식은 y = 2x + 6이다.
여기에 길이 조건을 바꾼 점 R(5, 16)을 제시하면, 학생은 계산을 마친 직후 16 = 2×5 + 6을 먼저 확인해야 한다. 양변이 모두 16이므로 R은 직선 위에 있다. 이때 기울기와 절편의 중간식을 유지한 채 대입까지 혼자 수행하는지 본다. 결과가 맞지 않으면 최종 답만 고치지 않고, 어느 계산 줄에서 불일치가 생겼는지 찾아 수정해야 한다.
수행평가에서 도형의 길이나 각 조건이 달라지고 지필평가에서 직선의 식 형태가 바뀌어도, 좌표를 식에 대입해 등식을 확인하는 행동은 그대로 적용된다. 송내동의 주간 일정이 학교별로 다르더라도 이 짧은 검산 한 줄을 답안 끝에 남기는지를 기준으로 실제 적용 여부를 점검할 수 있다.