소사본동고2수학과외

소사본동 고2수학과외: 일반항에서 항번호와 항값을 함께 확인하는 법

방과 후 이동 뒤 확보한 자습시간에 수열 문제를 정리할 때는 계산 결과만 적어 두면 풀이의 조건이 사라지기 쉽습니다. 수열에서는 구한 수가 항번호인지 항값인지 구분하고, 그 번호가 실제로 허용되는지까지 확인해야 합니다.

n=8은 답의 전부가 아니다

수열의 일반항이 a_n=2n+1일 때, 항값이 17인 항의 번호를 구해 보겠습니다.

a_n=17
2n+1=17
2n=16
n=8

여기서 8은 항값이 아니라 항번호입니다. 또한 수열의 항번호는 보통 자연수이므로 n=8이 조건에 맞는지도 확인해야 합니다. 계산을 마친 뒤에는 일반항에 다시 대입하여

a₈=2×8+1=17

을 남겨야 합니다. 따라서 답안은 “8”만 쓰는 것보다 “a₈=17이므로 17은 제8항의 값이다”라고 적는 편이 정확합니다.

항번호가 성립하는 범위까지 판별하기

예를 들어 a_n=3n−1에서 항값이 10인 항을 찾으면

3n−1=10
3n=11
n=11/3

이 결과는 자연수가 아니므로 해당 수열에는 항값이 10인 항이 없습니다. 일반항에 대입해 값을 만드는 계산만 한 것이 아니라, 그 결과가 실제 항번호의 범위에 들어오는지 확인해야 합니다.

반대로 a_n=2n+1에서 항값이 18이라고 하면 n=17/2가 되어 역시 자연수 항번호가 아닙니다. 식을 풀어 얻은 수가 항상 항번호가 되는 것은 아닙니다.

답안에 남겨야 할 세 가지 정보

1. 주어진 항값: a_n=17
2. 구한 항번호: n=8
3. 대입 검산: a₈=17

이 세 요소를 연결하면 계산 규칙을 거꾸로 적용해 원래 항값이 복원되는지 확인할 수 있습니다. 특히 “n=8”만 남은 풀이에서는 8이 항번호인지 항의 값인지 구분되지 않으므로, 답안 마지막에 a₈=17을 반드시 덧붙입니다.

조건을 바꾼 역문제에서 확인하기

이번에는 일반항과 항값의 관계를 거꾸로 사용합니다. 수열 a_n=3n−2에서 제9항의 값을 구하고, 그 결과가 어떤 항번호에서 나온 것인지 확인합니다.

a₉=3×9−2=25

따라서 제9항의 값은 25입니다. 다시 항값 25에서 번호를 찾으면

3n−2=25
3n=27
n=9

처음의 항번호와 되찾은 항번호가 같고, a₉=25도 성립합니다. 새로운 수열에서도 항번호와 항값을 구분한 뒤 자연수 조건과 대입 검산까지 이어지는지가 확인되어야 합니다.