소사본동 고3 수학과외: 이항분포의 두 매개변수 구별하기
소사본동의 소사고등학교 학생은 방과 후 이동 시간을 줄인 뒤, 자습시간에 확률과 통계 오답을 다시 정리했다. 답안 여백에는 이항분포를 적용하면서 시행 횟수와 성공확률을 뒤바꾼 흔적이 반복해서 남아 있었다. 같은 소사구의 시온고등학교, 정명고등학교, 송내고등학교, 범박고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 이 사례에서는 소사본동 내 소사고등학교 학생의 풀이를 중심으로 살폈다.
오답은 계산보다 분포의 구조에서 시작됐다
한 번 성공할 확률이 0.3인 시행을 서로 독립적으로 8번 실시하고, 성공 횟수를 확률변수 \(X\)라고 하자. 학생은 먼저 다음과 같이 적었다.
X∼B(0.3, 8)
이 식은 틀린 식이다. 이항분포 \(B(n,p)\)에서 첫 번째 매개변수 \(n\)은 시행 횟수이므로 자연수 8이 와야 하고, 두 번째 매개변수 \(p\)는 한 번의 성공확률이므로 0과 1 사이의 수 0.3이 와야 한다. 따라서 올바른 분포는 다음과 같다.
X∼B(8, 0.3)
성공이 정확히 2번일 확률은 성공 2번과 실패 6번의 조합을 세어
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}(0.3)^2(0.7)^6 \]
으로 계산한다. 여기서 \(\binom{8}{2}=28\), \((0.3)^2=0.09\), \((0.7)^6=0.117649\)이므로
\[ P(X=2)=28\times0.09\times0.117649 =0.29647548 \]
이다. 학생이 적은 \(B(0.3,8)\)을 그대로 계산할 수 없는 이유는 시행 횟수에 소수 0.3을 넣어 이항분포의 조건을 깨뜨리기 때문이다. 또한 성공확률은 반드시 \(0\le p\le1\)이어야 한다.
오류 줄을 표시하고 조건부터 다시 읽기
- 틀린 줄 표시: \(X∼B(0.3,8)\)에서 두 매개변수의 위치가 바뀌었다.
- 조건 확인: “8번 실시”는 \(n=8\), “한 번 성공할 확률 0.3”은 \(p=0.3\)이다.
- 식 수정: \(B(0.3,8)\rightarrow B(8,0.3)\).
- 대입 검산: \(P(X=2)=\binom82(0.3)^2(0.7)^6\)에서 지수의 합 \(2+6=8\)이 시행 횟수와 일치하는지 확인한다.
- 범위 검산: 계산값 \(0.29647548\)은 0과 1 사이이므로 확률의 범위 조건도 만족한다.
이후 학생은 문제에서 “몇 번 시행하는가”와 “한 번 성공할 확률은 얼마인가”에 각각 밑줄을 그은 뒤 \(n,p\)를 순서대로 옮겼다. 단순히 기호를 외우는 대신, \(n\)은 시행의 개수이고 \(p\)는 한 시행의 성공 가능성이라는 변수 관계를 먼저 확인하도록 풀이 순서를 바꾼 것이다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 한 부품이 정상일 확률이 \(0.4\)이고 부품 6개를 독립적으로 검사한다. 정상 부품의 개수를 \(Y\)라 하면 시행 횟수는 6, 성공확률은 0.4이므로
Y∼B(6, 0.4)
정상 부품이 정확히 3개일 확률은
\[ P(Y=3)=\binom63(0.4)^3(0.6)^3 =20\times0.064\times0.216 =0.27648 \]
이다. 이번에는 숫자와 상황을 바꾸었지만, 첫 번째 자리에 정수인 시행 횟수 6을 놓고 두 번째 자리에 확률 0.4를 놓는 기준은 그대로 적용된다. \(Y\)의 가능한 값도 \(0,1,2,3,4,5,6\)으로 시행 횟수 범위를 넘지 않는다.