소사본동고1수학과외, 점과 직선 사이 거리 공식의 적용 조건
학교 프린트에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 문제를 풀 때, 식을 보자마자 공식을 대입하는 학생이 있다. 소사고등학교 수학 학습에서도 조건이 한 줄 추가된 문제라면 먼저 구하려는 대상이 무한히 이어지는 직선인지, 선분인지 구별해야 풀이가 달라진다.
공식을 쓰기 전에 확인할 대상
직선의 방정식이 Ax+By+C=0이고 점의 좌표가 P(x1, y1)일 때, 점 P에서 직선까지의 거리는 다음과 같다.
d = |Ax1+By1+C| ÷ √(A2+B2)
이 식은 점 하나와 무한히 뻗은 직선 사이의 최단거리를 구할 때 적용한다. 따라서 직선의 식을 Ax+By+C=0 꼴로 정리할 수 있어야 하며, A와 B가 동시에 0이면 직선이 아니므로 공식을 사용할 수 없다.
계산은 맞아도 빠진 확인 한 줄
예를 들어 점 P(2, -1)에서 직선 3x-4y+5=0까지의 거리를 구하면
d = |3×2 - 4×(-1) + 5| ÷ √(32+(-4)2)
= |6+4+5| ÷ 5
= 3
이다. 그런데 실제 답안에는 공식을 바로 적은 뒤 계산만 이어지고, ‘점과 무한히 이어진 직선 사이의 거리’라는 확인이 없었다. 조건이 추가된 문제에서도 기존 풀이에서 달라져야 할 줄을 표시하지 않았고, 여백에도 공식 적용 조건을 구별한 흔적이 없었다. 이는 계산 능력의 문제가 아니라 공식이 다루는 대상을 판별하지 않은 상태에 가깝다.
선분이라는 조건이 붙으면 같은 식을 그대로 쓰지 않는다
직선 대신 선분 AB와의 거리를 묻는다면 먼저 수선의 발이 선분 위에 놓이는지 확인해야 한다. 선분의 양 끝점이 A(0, 0), B(4, 0)이고 점 P(6, 3)이라면, 직선 AB의 방정식은 y=0이다. P에서 직선 y=0까지의 거리는 3이지만 수선의 발 (6, 0)은 선분 AB 위에 없다.
따라서 선분 AB까지의 최단거리는 끝점과의 거리 중 작은 값이다.
PA = √((6-0)2+(3-0)2) = 3√5
PB = √((6-4)2+(3-0)2) = √13
√13 < 3√5이므로 선분 AB까지의 거리는 √13이다. 이처럼 ‘직선’인지 ‘선분’인지가 바뀌면 공식으로 끝나는 줄과 추가로 판단해야 하는 줄이 달라진다.
빠진 위치를 표시하고 그 줄부터 다시 쓰기
오답을 고칠 때는 계산식 전체를 지우기보다 공식 바로 앞에 다음 판단을 삽입한다.
구하는 대상은 점 P와 무한히 이어지는 직선 사이의 거리인가? 직선의 식이 Ax+By+C=0 꼴인가?
두 조건이 모두 맞으면 계수 A, B, C와 점의 좌표를 대응시킨 뒤 대입한다. 예컨대 3x-4y+5=0에서는 A=3, B=-4, C=5이고 P(2,-1)에서는 x1=2, y1=-1이다. 숫자의 모양이 비슷한 항을 임의로 묶는 것이 아니라, x가 붙은 항끼리, 상수가 붙은 항끼리 문자의 부분을 기준으로 대응시켜야 한다.
통학 뒤 짧은 시간에 확인할 변형 문제
소사본동에서 귀가 후 확보한 자습시간에는 원문을 반복하기보다 수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾼 형태를 점검할 수 있다.
“점 Q(-1, 4)에서 선분 CD까지의 거리를 구하여라. C(-2, 1), D(3, 1)”이라는 조건에서는 먼저 y=1인 직선까지의 수선의 발이 (-1, 1)임을 확인한다. 이 점은 선분 CD 위에 있으므로 직선 공식으로 구한 거리 3이 선분까지의 거리와도 같다.
반대로 점을 Q(6, 4)로 바꾸면 수선의 발 (6, 1)이 선분 밖으로 나간다. 이때는 공식의 결과 3을 그대로 답으로 쓰지 않고, QC와 QD를 비교해야 한다. 조건이 바뀐 줄을 표시하고 직선과 선분을 구별했는지, 그리고 식을 정리할 때 동류항의 기준을 숫자가 아닌 문자 부분으로 설명했는지를 확인한다. 이후 재현하지 못한 문제만 남겨 조건 판별부터 다시 작성한다.