범박동고2수학과외

범박동고2수학과외에서 도형 배열을 일반항으로 바꾸는 연습

범박고등학교와 시온고등학교처럼 고등학교 과제와 지필평가를 함께 준비해야 하는 환경에서는 도형 배열의 개수를 빠르게 세는 것보다, 그 배열을 모든 단계에 적용되는 수열의 식으로 설명하는 과정이 중요하다. 범박휴먼시아1단지와 일루미2단지 등 생활권에서 통학한 뒤 제한된 시간에 풀이를 정리할 때도 식을 세운 다음 반드시 검산까지 남겨야 한다.

증가량 3은 일반항이 될 수 없다

도형 배열의 1단계에 성냥개비 4개, 2단계에 7개가 사용되었다고 하자. 두 단계의 차이는

7-4=3

이다. 그러나 이 3은 한 단계가 늘어날 때마다 증가하는 개수이지, n단계의 전체 개수가 아니다. 답안에 a_n=3n이라고 적었다면 1단계에서 a₁=3이 되어 실제 개수 4와 맞지 않는다.

단계가 하나씩 늘 때마다 3개씩 증가하는 등차수열이므로 첫째항 a₁=4, 공차 d=3이다. 따라서

a_n=a₁+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1

이 식은 1단계에서 3·1+1=4, 2단계에서 3·2+1=7을 만들어 낸다. 도형의 모양을 보고 증가량만 기록하는 데서 멈추면 일반항의 시작값이 빠진다.

도형을 세기 전에 항의 의미를 고정하기

풀이 첫 줄에 다음 세 가지를 적어 두면 증가량과 전체 개수를 구분할 수 있다.

• n: 도형의 단계 번호
• a_n: n단계에 필요한 전체 개수
• a_n+1-a_n: 한 단계가 늘 때 추가되는 개수

예를 들어 a₁=4, a₂=7이고 매번 3개씩 늘어난다면

a_n+1-a_n=3

에서 출발해 a_n=3n+1을 세운다. 이후에는 식을 거꾸로 계산한다.

3n+1 → n=1이면 4, n=2이면 7

처음 두 도형의 개수가 복원되므로 일반항의 계수와 상수항이 모두 배열과 일치한다. 이처럼 사용한 규칙을 역으로 적용해 원래 자료가 되돌아오는지 확인하는 것이 풀이의 일부다.

계수와 부호를 바꾼 배열에서 다시 확인하기

이번에는 1단계에 9개, 2단계에 5개, 3단계에 1개가 놓인 도형 배열을 보자. 매 단계마다 4개씩 줄어들므로

a₁=9, d=-4

이다. 일반항은

a_n=9+(n-1)(-4)=13-4n

이다. 증가량의 절댓값 4만 보고 a_n=4n이라고 쓰면 감소하는 배열을 증가하는 수열로 바꾸게 된다. 올바른 식을 역검산하면

13-4·1=9,　13-4·2=5,　13-4·3=1

이 되어 세 도형의 개수가 모두 복원된다. 마지막으로 n은 단계 번호이므로 n=0을 임의로 포함하지 않고, 실제 배열에서 허용된 n의 범위를 확인한다.

도형 배열을 수열로 옮길 때는 차이만 찾는 것이 끝이 아니다. 첫째항과 공차의 부호를 함께 적고, 완성한 일반항에 첫 두 항을 대입해 원래 개수가 돌아오는지 확인해야 한다. 이 절차를 숫자와 배열의 표현이 달라진 문제에서도 혼자 이어 가는지가 다음 풀이에서 확인할 부분이다.