범박동고1수학과외: 세 직선의 한 점 공점을 교점 대입으로 확인하기
범박동의 범박고등학교와 시온고등학교 학생들은 중학교 때보다 긴 학교 프린트와 과제를 통학 시간 사이에 나누어 처리하게 된다. 이때 직선 세 개의 관계를 계산한 뒤 마지막 확인을 생략하면, 답은 맞아 보여도 서술형 풀이의 근거가 비게 된다.
두 직선의 교점만으로 세 직선을 판단한 풀이
다음 세 직선을 보자.
l1: y=2x+1, l2: y=-x+4, l3: y=3x
한 학생의 답안에는
2x+1=-x+4에서 x=1, y=3
까지만 적혀 있고, 곧바로 “세 직선은 한 점에서 만난다”라고 결론이 이어졌다. 두 직선의 교점을 구한 것은 맞지만, 그 점이 세 번째 직선 위에도 있는지는 아직 확인하지 않은 상태다.
교점 좌표를 세 번째 식에 넣어야 하는 이유
첫째와 둘째 직선의 교점은 두 식의 y값을 같게 하여 구한다.
2x+1=-x+4
3x=3, x=1
y=2×1+1=3
따라서 두 직선의 교점은 (1, 3)이다. 이제 이 좌표가 l3의 방정식도 만족하는지 대입한다.
l3에서 x=1일 때 y=3×1=3이므로 (1, 3)은 세 번째 직선 위에도 있다. 따라서 세 직선은 실제로 한 점 (1, 3)에서 만난다.
세 직선의 공점 여부는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 좌표를 남은 직선의 식에 대입해 확인한다.
계산 전에 근거를 말로 연결하기
풀이를 시작하기 전 학생이 “먼저 두 직선의 교점을 구하고, 그 교점의 좌표를 세 번째 직선에 대입해 성립하는지 확인하겠습니다”라고 말하게 했다. 이 문장은 단순한 구호가 아니라 계산 순서를 결정한다.
그 뒤 답안에는 교점 계산뿐 아니라 다음 줄이 남아야 한다.
(1, 3)을 l3: y=3x에 대입하면 3=3×1=3
이처럼 마지막 식까지 적으면 ‘두 직선이 만난다’와 ‘세 직선이 같은 점에서 만난다’를 구별할 수 있다. 세 번째 직선에서 y값이 4처럼 다르게 나오면, 세 직선은 한 점에서 만나지 않는다.
학교별 표현이 달라도 같은 관계 찾기
범박고등학교나 시온고등학교의 프린트에서 직선이 y=mx+n 꼴로 제시되지 않고 2x-y+1=0처럼 나타나도 먼저 y에 관한 식으로 바꿀 수 있다. 예를 들어 2x-y+1=0은 y=2x+1과 같다. 표현이 달라졌을 뿐, 교점을 구한 뒤 다른 직선에 대입한다는 판단은 변하지 않는다.
조건을 하나 더한 서술형 검증
새 문제를 다음과 같이 제시했다.
직선 y=x+1, 2x+y=7, y=(a-1)x+5-a가 한 점에서 만나고 그 교점의 x좌표가 양수일 때 a의 값을 구하여라.
첫째와 둘째 직선의 교점은
2x+(x+1)=7에서 x=2, y=3
이다. x=2는 양수이므로 추가 조건도 확인된다. 이제 교점 (2, 3)을 세 번째 식에 대입한다.
3=(a-1)×2+5-a
3=2a-2+5-a=a+3
a=0
학생이 식의 모양만 보고 답을 고르는지, 아니면 교점 (2, 3)을 세 번째 직선에 실제로 대입하고 x좌표의 조건까지 확인하는지를 살핀다. 표현이 바뀐 문제에서도 이 두 행동이 모두 나타나면 개념을 연결해 적용한 것이다.
오래 걸린 정답은 재확인 대상으로 남기기
정답을 맞혔더라도 교점 대입과 조건 확인에 지나치게 시간이 걸렸다면 해당 유형을 끝낸 것으로 처리하지 않고 재확인 표시를 남긴다. 이후 풀이에서 학생이 먼저 공통 교점을 찾고, 남은 직선에 대입한 뒤, 문제에 추가된 조건까지 순서대로 점검하는지 확인한다.