범박동고3수학과외

범박동 고3 수학과외에서 확률변수 변환 조건 다시 세우기

범박동의 범박고등학교와 시온고등학교에 다니는 고3 학생은 통학과 과제가 겹치는 날에도 확률변수 문제를 풀이했지만, 숫자와 분포 조건이 바뀌면 기존 풀이를 그대로 적용하려는 경향이 있었다. 특히 선형변환에서 계수의 부호가 달라질 때 분산의 변화를 정확히 연결하지 못했다.

표의 분포와 변환식을 먼저 맞추기

확률변수 X의 분포가 다음과 같다고 하자.

• X의 값: 0, 1, 3
• P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=3)=1/4
• 변환된 확률변수: Y=−2X+5

먼저 평균과 분산을 계산하면

E(X)=0×1/4+1×1/2+3×1/4=5/4

E(X²)=0²×1/4+1²×1/2+3²×1/4=11/4

따라서

Var(X)=E(X²)−{E(X)}²=11/4−25/16=19/16

선형변환의 평균과 분산은 각각

E(aX+b)=aE(X)+b,   Var(aX+b)=a²Var(X)

이므로 a=−2, b=5를 대입하면

E(Y)=−2×5/4+5=5/2

Var(Y)=(−2)²×19/16=19/4

부호를 놓친 오답을 줄 단위로 고치기

학생의 오답: Var(Y)=−2×19/16=−19/8

이 식은 틀린 식이다. 분산은 자료가 평균에서 떨어진 정도의 제곱을 평균 낸 값이므로 음수가 될 수 없다. 변환계수 a가 −2이면 분산에는 a가 아니라 a²이 들어간다. 상수항 5는 모든 값에 같은 수를 더하므로 분산을 바꾸지 않는다.

• 틀린 줄 표시: Var(Y)=−2×19/16
• 조건 확인: Y=aX+b, a=−2, b=5
• 식 수정: Var(Y)=(−2)²Var(X)=4×19/16=19/4
• 대입 검산: Y의 값은 5, 3, −1이고 평균은 5/2이다. 편차의 제곱을 계산하면 분산은 19/4로 일치한다.

학생은 원래 표와 변환 뒤 표를 두 줄로 적었다. X가 0, 1, 3일 때 Y는 각각 5, 3, −1이므로 확률은 그대로 1/4, 1/2, 1/4이다. 표의 값이 식 Y=−2X+5와 같은 관계를 나타내는지 확인한 뒤, 평균에는 −2를 한 번 곱하고 분산에는 (−2)²을 곱하는 차이를 구분했다.

새 조건에서 독립적으로 확인하기

이번에는 앞의 문제를 보지 않고 다음 조건을 새로 제시했다.

• X는 이항분포 B(6, 1/3)을 따른다.
• Z=−3X+2

이항분포의 평균과 분산은 E(X)=6×1/3=2, Var(X)=6×1/3×2/3=4/3이다.

따라서

E(Z)=−3×2+2=−4

Var(Z)=(−3)²×4/3=12

계수가 음수로 바뀌어도 평균은 부호의 영향을 받지만, 분산은 계수의 제곱을 사용한다. 학생은 마지막으로 X=0일 때 Z=2, X=6일 때 Z=−16임을 대입해 변환 방향을 확인하고, 분산이 12로 양수인지 검산했다.