계수동고2수학과외

계수동 고2수학과외, 도형 배열을 항과 일반항으로 바꾸기 전 확인할 것

도형 배열 문제에서는 그림의 개수만 세는 것보다 각 단계가 수열의 항으로 연결되는지 먼저 판단해야 한다. 계수동에서 고2 수학 과제를 점검할 때도 학교별 상황을 임의로 단정하기보다, 자녀가 귀가 후 도형의 단계 번호와 실제 개수를 구분해 적었는지 확인하는 것이 우선이다. 계수동 소재 고등학교가 확인되지 않는 만큼, 소사구 내 시온고·소사고·정명고·송내고·범박고 등 통학권 참고 학교의 문제를 볼 때에도 풀이의 수학적 조건 자체를 기준으로 살펴야 한다.

4개와 7개 사이에서 빠진 것은 증가량이 아니라 항의 정보다

첫 번째 도형에 작은 정사각형 4개, 두 번째 도형에 7개가 있고, 매 단계마다 3개씩 늘어난다고 하자. 이때 단계 번호를 n, 도형의 개수를 a_n으로 정한다.

a₁=4, a₂=7이므로
d=a₂-a₁=3

여기서 3은 일반항이 아니라 공차다. 학생이 답안에 “일반항은 3”이라고 적었다면, 항의 값과 항 사이의 증가량을 바꿔 쓴 것이다. 매 단계의 증가량이 계속 3이라는 조건이 확인될 때에만 등차수열로 볼 수 있으며, 그 경우 일반항은

a_n=a₁+(n-1)d
=4+3(n-1)=3n+1

이다. 따라서 세 번째 도형은 a₃=10개, 다섯 번째 도형은 a₅=16개가 된다. 단계 번호 n과 도형의 개수 a_n을 답안의 서로 다른 칸에 적어야 누락이 생기지 않는다.

두 그림만으로 등차수열이라고 단정할 수 없는 이유

도형 1단계가 4개, 2단계가 7개라는 사실만으로는 일반항이 하나로 정해지지 않는다. 두 항을 지나는 식은 여러 개일 수 있기 때문이다. 예를 들어 매번 3개씩 추가된다는 배열 규칙이 그림에서 확인되어야

a_n+1-a_n=3

을 모든 단계에 적용할 수 있다. 이 조건이 없다면 “증가량 3”은 두 항 사이에서 계산한 차이일 뿐, 전체 수열의 공차라고 확정할 수 없다. 그림의 선이나 묶음이 다음 단계에서도 같은 방식으로 반복되는지 먼저 살피는 것이 적용 조건의 확인이다.

답안에 남겨야 할 세 줄

도형 배열을 수열로 바꿀 때는 다음 세 내용을 함께 기록한다.

1. 단계 번호: n=1, 2, 3, …
2. 항의 값: a₁=4, a₂=7
3. 규칙과 범위: 매번 3개씩 증가, n은 자연수

따라서 해당 배열의 풀이에는 a_n=3n+1 (n은 자연수)라고 적는다. 증가량만 남겨 둔 기존 풀이 옆에는 “a₁=4, d=3, n=단계 번호”를 덧붙인 뒤 일반항을 다시 계산하게 한다. 이 과정을 거치면 그림의 개수와 수열의 항번호가 분리되지 않는다.

감소하는 배열에서 방향을 다시 읽는 검산

새 조건으로 첫 단계부터 10개, 2단계부터 8개, 3단계부터 6개처럼 매번 2개씩 줄어드는 배열을 제시한다. 이때

a₁=10, d=-2
a_n=10-2(n-1)=12-2n

이다. a₄=4로 실제 배열의 흐름과 맞고, a₅=2이다. 학생이 증가하는 문제에서 사용한 방식대로 공차를 2라고만 쓰면 감소 방향을 놓치게 된다. 새 문제에서는 먼저 a₂-a₁=8-10=-2를 계산하고, 음의 공차인지 확인한 뒤 일반항을 작성해야 한다.

마지막으로 “단계 번호를 넣었을 때 실제 도형 개수가 나오는가”를 대입으로 확인한다. 증가 배열에서는 a₁=4, 감소 배열에서는 a₁=10이 다시 나와야 하며, 이 검산까지 마쳐야 도형의 규칙과 수열의 일반항이 제대로 연결된 것이다.