계수동 고3수학과외: 상수항에 흔들린 분산 계산 바로잡기
계수동에서 통학하는 고3 학생은 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 조정하면서 확률과 통계 문제를 풀고 있었다. 같은 소사구의 시온고등학교, 소사고등학교, 정명고등학교, 송내고등학교, 범박고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 두되, 학교별 출제 경향은 단정하지 않고 학생의 실제 풀이 과정을 중심으로 점검했다.
상수항은 분산을 바꾸지 않는다
확률변수 \(X\)가 다음 분포를 따른다고 하자.
- \(P(X=1)=0.2\)
- \(P(X=2)=0.5\)
- \(P(X=4)=0.3\)
학생은 \(Y=3X-2\)의 분산을 구하며 다음과 같이 적었다.
오답식: \(V(3X-2)=3V(X)-2\)
이 식은 틀렸다. 분산은 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타내므로 모든 값에 같은 수를 더하거나 빼는 상수항은 흩어짐의 크기를 바꾸지 않는다. 또한 계수 \(3\)은 편차를 세 배로 만들기 때문에 분산에는 \(3^2\)이 반영된다.
먼저 원분포의 분산을 계산하면
\[ E(X)=1(0.2)+2(0.5)+4(0.3)=2.3 \]
\[ E(X^2)=1^2(0.2)+2^2(0.5)+4^2(0.3)=7 \]
\[ V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=7-2.3^2=1.71 \]
따라서 정확한 식은
\(V(aX+b)=a^2V(X)\)
이고, 이 문제에서는
\[ V(3X-2)=3^2V(X)=9(1.71)=15.39 \]
이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, \(aX+b\)에서 \(b\)가 모든 값에 동일하게 적용되는지 확인했다. 이어 \(X\)의 두 값 차이가 \(3X-2\)에서 세 배가 되는지 대조하고, 수정한 식에 \(V(X)=1.71\)을 재대입했다.
변형된 분포로 독립 검증하기
같은 공식을 반복하지 않고 다음 분포로 바꾸어 확인했다.
- \(P(X=-1)=0.25\)
- \(P(X=0)=0.35\)
- \(P(X=2)=0.4\)
이때
\[ E(X)=(-1)(0.25)+0(0.35)+2(0.4)=0.55 \]
\[ E(X^2)=1(0.25)+0+4(0.4)=1.85 \]
\[ V(X)=1.85-0.55^2=1.5475 \]
새로운 변환을 \(Y=-2X+5\)로 두면 상수항 \(5\)는 분산에 영향을 주지 않고, 계수 \(-2\)의 제곱만 반영된다.
\[ V(Y)=(-2)^2V(X)=4(1.5475)=6.19 \]
학생은 변환 전후의 값 차이를 직접 비교해 \(X\)의 차이가 두 배가 되지만 부호만 바뀌며, 분산은 \(4\)배가 된다는 점까지 확인했다. 이를 통해 \(V(aX+b)=a^2V(X)\)를 새로운 확률조건에서도 독립적으로 적용했다.