계수동고1수학과외, 매개변수 직선이 점을 지나는 조건 세우기
계수동에서 귀가 후 학교 프린트와 과제를 함께 정리할 때, 매개변수 문제는 계산보다 먼저 “주어진 점의 좌표를 직선의 식에 대입한다”는 판단이 필요하다. 같은 소사구 통학권의 고등학교를 참고하더라도 학교별 상황을 단정하기보다, 풀이 시작 순서를 실제 답안에서 확인하는 편이 효과적이다.
계산보다 먼저 써야 할 한 줄
직선 y=(a-2)x+3이 점 (1,4)를 지난다고 하자. 특정 점을 지난다는 말은 그 점의 좌표가 직선의 방정식을 만족한다는 뜻이므로 다음 조건을 세운다.
4=(a-2)×1+3
따라서 4=a+1이고, a=3이다. 여기서 a는 기울기 자체가 아니라 기울기 a-2를 결정하는 매개변수다. 점의 좌표를 식에 넣는 단계가 빠지면 이후의 계산은 근거를 잃는다.
최근 풀이를 그대로 옮긴 흔적
학생의 답안에는 y=(a-2)x+3 다음 줄에 바로 “a=3”이라고 적혀 있었다. 점 (1,4)를 대입한 식도, 왜 그런 식을 세우는지도 나타나지 않았다. 다른 문제에서 얻은 값을 비슷한 모양의 문제에 옮긴 것이 아니라면, 매개변수를 구할 수 있는 조건이 반드시 답안에 드러나야 한다.
이때 혼동하기 쉬운 것은 ‘직선 위의 점을 확인하는 것’과 ‘두 직선의 교점을 구하는 것’이다. 지금 문제에서는 두 직선의 교점을 찾는 것이 아니라, 주어진 점 하나를 직선의 식에 대입하여 매개변수에 대한 방정식을 만드는 것이 출발점이다.
조건을 앞뒤로 확인하는 풀이
풀이 전에는 문제의 직선과 점을 한 줄로 표시한다.
직선의 식: y=(a-2)x+3, 지나가는 점: (1,4)
그다음 점의 좌표를 순서대로 대입한다.
x=1, y=4이므로 4=(a-2)×1+3이다. 이 식을 풀어 a=3을 얻은 뒤에는 매개변수의 값을 원래 직선에 되돌려 넣는다.
a=3이면 직선은 y=x+3이고, x=1일 때 y=4가 되어 주어진 점을 지난다. 풀이 전에는 조건을 세울 준비가 되었는지, 풀이 후에는 구한 값이 점을 실제로 만족시키는지 두 번 확인한다.
순서가 바뀐 문제에서 첫 행동 확인하기
연습 문제를 다음처럼 제시한다.
직선 y=(2m+1)x-5가 점 (-2,7)을 지날 때 m의 값을 구하여라.
학생이 계산을 시작하기 전에 스스로 7=(2m+1)×(-2)-5를 세우면 조건을 읽고 첫 행동을 선택한 것이다. 정리하면 7=-4m-2-5=-4m-7이므로 14=-4m, 따라서 m=-7/2이다. 원래 식에 대입하면 기울기는 2m+1=-6이고, x=-2일 때 y=12-5=7이므로 검산도 성립한다.
이 문제를 해결한 뒤에는 이미 해결된 문제를 복습 목록에서 빼되, 조건을 읽고 바로 대입식을 세웠는지는 기록한다. 정답만 맞힌 것이 아니라 첫 행동을 스스로 정했는지가 확인 기준이다.