종암동고2수학과외

로그를 치환한 뒤에도 x로 돌아와야 하는 이유

종암동고2수학과외에서 로그방정식을 점검할 때 자주 확인하는 장면이 있다. 학생이 치환한 문자로 이차방정식까지 정확히 풀고도, 원래 변수인 x의 후보를 적는 단계에서 풀이를 멈추는 경우다. 종암동의 서울대학교사범대학부설고등학교와 성북구 내 계성고등학교·용문고등학교·석관고등학교·고려대학교사범대학부속고등학교는 서로 다른 학교이므로, 내신 일정과 프린트 분량에 따라 이런 변형 문제를 다루는 시점도 달라질 수 있다. 여기서는 학교별 경향을 단정하지 않고, 한 문제 안에서 치환과 검산이 이어지는지를 살핀다.

치환식의 해는 x의 해가 아니다

다음 방정식을 보자.

(log₂ x)² - 3log₂ x + 2 = 0

먼저 로그의 정의조건은 x > 0이다. 이제 t = log₂ x로 두면

t² - 3t + 2 = 0

이므로

(t - 1)(t - 2) = 0,   t = 1 또는 t = 2

까지 얻는다. 이때 1과 2는 x가 아니라 log₂ x의 값이다. 따라서 반드시 원래 변수로 되돌려

log₂ x = 1 → x = 2
log₂ x = 2 → x = 4

라고 써야 한다. 답은 x = 2, 4이며, 두 값 모두 x > 0을 만족한다.

멈춘 지점에 기호를 표시하기

풀이 기록에 t=1, 2만 남아 있고 x=2, 4가 없다면, 처음 어긋난 기호인 t에 표시한다. 그 바로 아래에 다음 중간식을 다시 쓴다.

t = log₂ x
t=1 또는 2
log₂ x=1 또는 log₂ x=2
x=2 또는 x=4

이 네 줄을 생략하지 않으면 계수나 부호가 바뀐 문제에서도 치환 문자의 해와 원래 방정식의 해를 구분할 수 있다. 마지막에는 두 후보를 원식에 대입한다. 실제로 x=2이면 log₂2=1, x=4이면 log₂4=2이므로 각각 1-3+2=0을 만족한다.

계수와 부호가 달라진 짧은 문제

다음 식으로 같은 판단을 다시 확인한다.

2(log₂ x)² + log₂ x - 3 = 0

t=log₂ x로 놓으면

2t²+t-3=0
(2t+3)(t-1)=0

따라서 t=-3/2 또는 t=1이다. 여기서 바로 답을 x=-3/2, 1로 적으면 치환 해를 원래 해로 잘못 읽은 것이다. 다시 되돌리면

log₂ x=-3/2 → x=2^-3/2 = 1/(2√2)
log₂ x=1 → x=2

두 값 모두 양수이므로 정의조건도 통과한다. 계산이 짧아졌을 때에도 t의 해 → 로그식 → x의 값 → 정의조건 순서를 유지했는지가 확인할 부분이다.