종암동고3수학과외

조건이 바뀐 접선 문제에서 풀이 기준 다시 세우기

종암동에서 고3 수학과외를 진행하며 학생의 풀이를 확인하니, 문자의 이름이나 곡선의 식이 바뀌어도 이전 문제의 접선식을 그대로 사용하는 습관이 나타났다. 종암동에는 서울대학교사범대학부설고등학교가 확인되며, 같은 성북구의 계성고·용문고·석관고·고려대학교사범대학부속고는 참고 학교로 구분해야 한다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습량이 다르므로, 이번에는 특정 학교의 경향보다 조건을 다시 읽고 검산하는 과정에 집중했다.

곡선의 식이 달라지면 접선도 처음부터 다시 구한다

먼저 곡선 y=x² 위의 점 P(t,t²)에서의 접선은

y=2tx-t²

이다. 그런데 새 문제에서 곡선이 y=x²+1로 바뀌고, 점 P(t,t²+1)에서의 접선과 점 A(0,5) 사이의 거리를 구한다고 하자. 학생은 이전 식을 그대로 적용해

y=2tx-t²

라고 썼다. 이 식은 y=x²의 접선이므로 현재 문제의 정답이 아니다. 곡선을 미분하면 y'=2x이므로 x=t에서 기울기는 2t이다. 따라서 정확한 접선은

y-(t²+1)=2t(x-t)

이고, 정리하면

y=2tx+1-t²

이다.

움직이는 점의 범위까지 포함해 최솟값을 확인하기

0≤t≤2에서 접선과 점 A(0,5) 사이의 거리를 구하면 접선의 일반형은

2tx-y+1-t²=0

이므로 점과 직선 사이의 거리 공식에 따라

d(t)=|5+1-t²|/√(4t²+1)=(6-t²)/√(4t²+1)

이다. 주어진 범위에서 6-t²>0이므로 절댓값을 임의로 없앤 것이 아니다. 미분하면

d'(t)=-2t(4t²+13)/(4t²+1)^3/2

이고, 0<t≤2에서 음수이다. 따라서 거리는 감소하며 최솟값은 t=2에서 나온다.

이때 접선은 y=4x-3, 점 A와의 거리는

|-5+1-4|/√17=8/√17

이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, ① 곡선식과 변수 관계 확인 ② 도함수로 기울기 재계산 ③ 접선식 정리 ④ 허용 범위 0≤t≤2 기록 ⑤ 끝점과 미분 부호를 비교하는 순서로 답안을 수정했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고, 곡선을 y=x²-2, 점을 B(0,3), 범위를 1≤t≤3으로 바꾸었다. 접선은

y=2tx-t²-2

이고 일반형은 2tx-y-t²-2=0이다. 따라서 거리는

D(t)=|3-t²-2|/√(4t²+1)=|1-t²|/√(4t²+1)

이다. 1≤t≤3에서는 |1-t²|=t²-1로 바뀌므로, 이전 문제의 분자나 부호를 복사할 수 없다. 학생은 새 문제에서 답만 쓰지 않고 곡선, 접선, 범위, 절댓값 처리와 미분 부호를 네모칸에 따로 적어 근거를 먼저 검산했다.