종암동고1수학과외: 대칭식 방정식을 합과 곱의 변수로 바꾸는 판단
서울 성북구 종암동에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 대칭식 방정식은 항을 무작정 전개하는 것보다 두 문자의 합과 곱이 어디에 나타나는지 먼저 살피는 과정이 필요하다. 종암동 내 학교로 확인되는 서울대학교사범대학부설고등학교와 성북구 내 참고 학교들은 서로 다른 주간 학습 일정으로 문제를 다룰 수 있으므로, 짧은 시간에도 식의 구조를 확인하는 풀이가 중요하다.
계산을 시작하기 전 사라진 한 줄
예를 들어 다음 식을 보자.
x² + y² - 6x - 6y + 2xy + 9 = 0
이 식은 x와 y를 서로 바꾸어도 변하지 않는 대칭식이다. 학생의 답안에는 항을 순서대로 계산한 뒤 곧바로 전개가 이어졌고, 여백이나 답안 어디에도 합과 곱을 새 변수로 둔 표시가 없었다. 문제의 조건을 식으로 옮긴 뒤 원문과 대조하지 않고 다음 계산으로 넘어간 행동이 실제 오답 장면으로 나타난 것이다.
s와 p가 식의 구조를 드러내는 방식
이때
s = x + y, p = xy
로 두면
x² + y² = (x+y)² - 2xy = s² - 2p
이다. 원래 식에 대입하면
(s² - 2p) - 6s + 2p + 9 = 0
이므로 p항이 소거되어
s² - 6s + 9 = 0
즉, (s-3)²=0을 얻는다. 따라서 s=x+y=3이다. 여기서 중요한 판단은 p를 억지로 구하는 것이 아니라, 대칭식 안에서 합과 곱을 각각 어떤 표현으로 바꿀지 정하는 데 있다.
오답이 발생한 줄부터 다시 쓰기
수정할 때는 답안 전체를 처음부터 베끼지 않고, 빠진 표시가 있었어야 할 줄에 선을 긋는다. 그 줄부터 다음처럼 다시 작성한다.
- s=x+y, p=xy로 둔다.
- x²+y²=s²-2p를 사용한다.
- 원래 식은 s²-2p-6s+2p+9=0이 된다.
- 정리하면 (s-3)²=0이므로 x+y=3이다.
마지막에는 새 식만 바라보지 말고 원문과 대조한다. 원문의 -6x-6y는 -6(x+y)=-6s로, 2xy는 2p로 옮겨졌는지 확인한다. 이렇게 해야 조건을 식으로 바꾼 뒤 원문을 놓치는 습관을 줄일 수 있다.
합과 곱을 각각 요구하는 문제에서의 구별
다음 조건에서는 두 변수를 분리해 생각해야 한다.
x²+y²=13, xy=6
여기서
(x+y)²=x²+2xy+y²=13+12=25
이고, 합의 범위를 양수 조건으로 제한한다면 x+y=5이다. 단순히 x²+y²를 (x+y)²로 바꾸면 안 되며, 빠진 2xy를 반드시 더해야 한다. 합과 곱을 변수로 둘 때도 각각의 정의가 바뀌지 않는지 확인해야 한다.
조건을 바꾼 도형에서 확인하는 적용
훈련 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고, 길이 조건을 바꾼 직사각형 문제로 확인한다. 가로와 세로의 길이를 각각 x, y라 하고
x+y=11, xy=24
라고 하자. 필요한 길이의 합과 넓이만 먼저 식으로 옮기면 s=x+y=11, p=xy=24가 된다. 두 변의 제곱합은
x²+y²=s²-2p=121-48=73
이다. 길이의 의미에 맞게 x와 y가 양수인지, 합과 곱이 원래 도형 조건과 일치하는지 확인해야 한다.
이 문제에서 학생이 별도의 지시 없이 s=x+y, p=xy를 먼저 적고, 도형의 길이 조건을 다시 대조한 뒤 계산을 시작하는지 본다. 풀이 시간이 오래 걸리더라도 이 재확인 흔적을 남긴다면 대칭식에서 합과 곱을 새로운 변수로 두는 훈련이 유지되고 있는 것으로 판단한다.