정릉동고2수학과외

정릉동 고2수학과외: 치환한 로그값을 다시 x로 되돌리는 풀이

정릉꿈에그린 2단지나 정릉대우아파트 생활권에서 학교 프린트와 지필평가를 함께 준비할 때, 로그방정식은 계산보다 치환 뒤의 복원이 더 중요하다. 특히 평일 귀가 시간 때문에 풀이를 빠르게 마무리하려다 치환 변수의 해만 적고 원래 변수로 돌아가지 않는 경우가 생긴다.

오답은 이 계산 줄에서 멈췄다

다음 방정식을 살펴보자.

(log₂ x)² - 3log₂ x + 2 = 0

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

t = log₂ x라 두면
t² - 3t + 2 = 0
(t - 1)(t - 2) = 0
t = 1 또는 t = 2

여기서 풀이가 끝났다. 그러나 t는 원래 방정식의 미지수 x가 아니라 log₂ x의 값이다. 따라서 반드시 다시 x를 구해야 한다.

치환식의 해를 x의 해로 복원하기

로그가 정의되려면 x>0이어야 한다. 이제 각 값을 원래 치환식에 되돌린다.

t = 1이면
log₂ x = 1이므로 x = 2

t = 2이면
log₂ x = 2이므로 x = 4

따라서 해는 x = 2, 4이다.

검산하면 x=2일 때 1²-3·1+2=0이고, x=4일 때 2²-3·2+2=0이다. 두 값 모두 x>0을 만족하므로 허용된다. 오답의 원인은 인수분해가 아니라, 치환 변수 t의 값을 구한 뒤 x로 돌아가는 줄을 생략한 데 있다.

오답 발생 줄 옆에 조건과 복원식을 남긴다

이 유형을 다시 풀 때는 계산 전체를 처음부터 베껴 쓰기보다, 문제가 된 줄을 그대로 남겨 둔 뒤 오른쪽에 다음 두 줄을 붙인다.

t = log₂ x,   x>0
t = 1, 2  →  log₂ x = 1 또는 2  →  x = 2 또는 4

이렇게 쓰면 치환의 대상과 최종 답의 대상이 달라진다는 점이 풀이에 드러난다. 특히 t=1, 2를 답란에 바로 옮기지 않고, 각 값을 지수형으로 바꾸어 x=2^t를 계산해야 한다.

항의 순서가 섞여도 같은 구조를 찾는지 확인하기

다음 식을 같은 방식으로 풀어 보자.

2 - 5log₃ x + (log₃ x)² = 0

항의 순서는 다르지만 t=log₃ x로 두면

t² - 5t + 2 = 0

이 된다. 따라서

t = 5 + √17₂ 또는 t = 5 - √17₂

이고, 원래 변수로 돌아가면

x = 3^(5+√17)/2 또는 x = 3^(5-√17)/2

이다. 두 지수값은 모두 양수이므로 x>0을 만족한다. 이 문제에서 t의 두 값만 적으면 미완성이고, 각각을 log₃ x의 값으로 해석해 x까지 복원해야 완전한 풀이가 된다.