정릉동 고3수학과외에서 변화율과 접선 조건을 다시 연결한 사례
정릉동에서 통학하는 고3 학생은 고려대학교사범대학부속고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정을 확인한 뒤, 평일 귀가 시간에 맞춰 미분 오답을 정리했다. 대일외국어고등학교와 같은 성북구 내 계성고등학교, 용문고등학교 등은 생활권 참고 대상으로만 두고, 학생의 실제 학습 시간은 학교 일정과 이동 시간을 기준으로 조정했다.
속도 벡터와 접선 기울기를 구분해야 하는 이유
곡선 위를 움직이는 점의 위치가
P(t)=(x(t),y(t))=(t2+1,t3-2t)
로 주어졌다고 하자. t=1에서 점의 위치와 속도 벡터를 구하면
P(1)=(2,-1), P′(1)=(x′(1),y′(1))=(2,1)
이다. 속도 벡터는 (2,1)이고, 이 벡터가 접선의 방향을 나타낸다. 그러나 접선의 기울기는 속도 벡터 자체가 아니라 두 성분의 비인
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 1/2
로 계산해야 한다. 따라서 점 P에서의 접선은
y+1=1/2(x-2), 즉 y=1/2x-2이다.
채점 후 처음 잘못된 줄 찾기
학생은 다음과 같이 풀이했다.
오답: P′(1)=(2,1)이므로 접선 기울기는 1이다.
따라서 접선의 방정식은 y+1=x-2, 즉 y=x-3이다.
이 식은 틀린 풀이다. 속도 벡터의 두 번째 성분인 y′(1)=1을 접선 기울기로 바로 사용했기 때문이다. 접선 기울기는 반드시 x′(1)≠0인지 확인한 뒤 y′(1)/x′(1)로 구해야 한다.
학생은 채점 후 오답 옆에 단순히 ‘실수’라고만 적지 않고, 최초 오류 줄에 표시를 남겼다.
- □ 점의 좌표 확인: (2,-1)
- □ 속도 벡터 확인: (2,1)
- □ x′(1)≠0 확인
- □ 접선 기울기: y′(1)/x′(1)=1/2
그 뒤 수정한 식을 원래 함수 관계에 대입했다. x=2일 때 수정된 접선은 y=-1을 주므로 점 P(1)=(2,-1)을 통과한다. 반면 오답 직선 y=x-3도 점은 통과하지만 기울기가 1이므로 변화율 조건을 만족하지 않는다. 점을 통과하는 것만으로 접선임을 판단할 수 없다는 점까지 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 유형을 반복하지 않기 위해 위치 함수를
Q(t)=(3t-1, t2+2)
로 바꾸고 t=2에서 접선을 구했다. 이때
Q(2)=(5,6), Q′(t)=(3,2t), Q′(2)=(3,4)
이므로 접선 기울기는 속도 벡터의 두 번째 성분 4가 아니라
dy/dx=4/3
이다. 따라서 접선은
y-6=4/3(x-5)
이고, 정리하면 4x-3y-2=0이다. (5,6)을 대입하면 0이 되어 점을 지나고, 기울기도 4/3으로 계산되어 변화율 조건까지 다시 확인된다.