정릉동고1수학과외: 연립식에서 고차식을 만드는 소거 대상 판단
고려대학교사범대학부속고등학교의 프린트 문제처럼 두 식을 연립해 하나의 고차방정식으로 바꾸는 유형에서는 계산보다 먼저 어느 문자를 없앨지 정해야 한다. 정릉동에서 학교 수업과 귀가 후 학습 시간이 짧게 나뉘는 경우에도, 답만 맞힌 풀이보다 소거 근거가 남아 있는지를 확인해야 다음 변형 문제에 대응할 수 있다.
왜 y를 먼저 없애야 하는가
다음 두 식을 보자.
x2 + y = 3, x + y2 = 3
첫 번째 식은 y가 일차로 나타나므로 곧바로
y = 3 - x2
로 정리할 수 있다. 이를 두 번째 식에 대입하면
x + (3 - x2)2 = 3
이고, 전개하면
x + 9 - 6x2 + x4 = 3
따라서
x4 - 6x2 + x + 6 = 0
이라는 고차식이 만들어진다. 여기서 y를 선택한 근거는 첫 번째 식에서 y를 한 번의 정리로 고립할 수 있다는 점이다. 소거 대상은 눈에 먼저 보이는 문자가 아니라, 다른 식에 대입했을 때 식의 형태를 안정적으로 만들 수 있는 문자로 정한다.
답은 맞았지만 판단 흔적이 사라진 풀이
수업 중 학생은 위 식을 보고 바로 y=3-x2를 적은 뒤 전개를 시작했다. 계산 결과는 맞았지만, 답안에는 왜 y를 정했는지에 대한 표시가 없었다. 다음 줄로 넘어가기 전에 ‘두 식 중 어느 식에서 한 문자를 간단히 정리할 수 있는가’를 확인하지 않은 것이다.
이 상태에서는 식의 순서가 바뀌거나 다음과 같이 주어졌을 때 판단이 흔들릴 수 있다.
y2 + x = 3, y = 3 - x2
이번에는 두 번째 식에 y가 이미 고립되어 있으므로, 역시 y를 먼저 대입하는 것이 자연스럽다. 학생이 단순히 앞에 놓인 식을 선택한 것인지, 실제로 소거하기 쉬운 문자를 찾은 것인지를 구분해야 한다.
계산 직전 한 줄로 남기는 기준
훈련할 때는 대입식 앞에 다음과 같은 짧은 근거를 반드시 적게 한다.
y가 한 식에서 일차로 고립되므로 y를 소거한다.
그 뒤에 y=3-x2를 표시하고, 두 번째 식에 괄호를 포함해 대입한다. 특히 y2에 대입할 때 (3-x2)2로 써야 한다. 괄호를 생략해 3-x4처럼 처리하면 제곱이 전체에 적용되지 않아 전혀 다른 식이 된다.
반대로 x를 없애는 것도 원리상 가능하다. x=3-y2를 이용하면
(3-y2)2+y=3
에서 y4-6y2+y+6=0을 얻는다. 따라서 특정 문자만 정답인 것은 아니지만, 풀이에서 선택한 문자를 왜 정했는지 설명해야 한다.
표와 그래프로 바꾼 문제에서 다시 확인하기
검증에서는 같은 식을 반복하지 않고, 두 관계를 그래프로 제시한다. 그래프의 제목과 축의 단위를 먼저 읽은 뒤, 한 곡선이 y=3-x2인지 확인하게 한다. 이후 다른 곡선과의 교점 조건을 하나의 식으로 만들 때 y를 대입 대상으로 선택하고, 그 이유를 말하게 한다.
시간이 부족하면 무작정 계산을 이어 가지 않고, ‘관계식 확인 후 보류’라고 표시한 뒤 다른 문항으로 이동한다. 정해 둔 시점에 돌아와 소거 문자의 근거와 괄호가 있는 대입식을 먼저 기록하는지 관찰하면, 맞힌 답이 우연인지 실제 판단으로 얻은 것인지 확인할 수 있다.
정릉꿈에그린 2단지나 정릉대우아파트 생활권에서 귀가 후 짧은 시간에 학교 프린트를 정리할 때도 한 문제의 정답만 확인하지 않는다. 소거 대상, 선택 근거, 대입식의 괄호가 모두 남아 있어야 새로운 표현의 문제에서도 같은 판단을 재현한 것으로 본다.