장위동고2수학과외

장위동고2수학과외: 반복 로그 치환 전 진수 조건부터 확인하기

장위동 장위래미안아파트와 장위동그린빌아파트 생활권에서 학교 과제와 귀가 후 학습 시간을 조정할 때, 로그방정식은 풀이 첫 줄의 조건 표시가 오답을 줄이는 기준이 된다. 성북구 내 계성고등학교, 용문고등학교, 서울대학교사범대학부설고등학교, 석관고등학교, 고려대학교사범대학부속고등학교 등의 통학권을 참고하더라도, 학교별 출제 경향을 단정하기보다 학생이 식의 성립 범위를 먼저 적는지를 확인해야 한다.

치환보다 먼저 적어야 하는 log₂x의 범위

다음 방정식을 풀어 보자.

(log₂x)² − 3log₂x + 2 = 0

로그가 실수로 정의되려면 밑과 진수 조건을 확인해야 한다. 밑은 2이므로 2>0이고 2≠1이다. 따라서 진수에 대해

x>0

을 먼저 적는다. 그다음 t=log₂x로 치환하면

t²−3t+2=0
(t−1)(t−2)=0

이므로 t=1 또는 t=2이다. 이제 치환을 x로 되돌려야 한다.

log₂x=1이면 x=2,
log₂x=2이면 x=4

따라서 해는 x=2, 4이다. 두 값 모두 처음 확인한 x>0을 만족한다.

t의 근만 구하고 x로 돌아가지 않은 풀이

풀이 과정에서 다음과 같이 멈추는 경우가 있다.

t=log₂x라 하면 t²−3t+2=0
t=1 또는 2

여기서 1과 2는 x의 해가 아니라 치환한 문자 t의 값이다. 또한 진수 조건을 쓰지 않았기 때문에 방정식이 허용하는 x의 범위도 확인되지 않았다. 반복 로그 치환은 인수분해가 끝나는 순간 완료되는 것이 아니라, t의 각 값을 원래 로그식에 대입해 x로 복원하고 정의조건을 대조해야 한다.

숫자 하나를 바꾼 미니문제로 복원 과정을 고정하기

같은 자리의 상수를 바꾼 다음 문제를 답안에 직접 적어 본다.

(log₂x)² − 3log₂x + 3 = 0

먼저 x>0을 표시하고 t=log₂x로 치환한다.

t²−3t+3=0

이 식의 판별식은 9−12=−3이므로 실수인 t가 없다. 따라서 x로 되돌릴 후보도 없으며, 실수해는 없다. 이처럼 조건 표시, 치환, t의 실수해 판별, x로 복원하는 순서를 답안에 남겨야 한다.

진수가 음수가 되도록 바꾼 독립 확인

이번에는 진수의 조건이 달라지는 문제를 확인한다.

(log₂(−x))² − 3log₂(−x) + 2 = 0

이번에는 −x가 로그의 진수이므로

−x>0, 즉 x<0

을 먼저 적어야 한다. u=log₂(−x)로 치환하면

u²−3u+2=0
(u−1)(u−2)=0

u=1 또는 u=2이다. 원래 식으로 돌아가면

log₂(−x)=1이면 −x=2이므로 x=−2,
log₂(−x)=2이면 −x=4이므로 x=−4

두 값 모두 x<0을 만족한다. 양수 조건을 기계적으로 쓰지 않고, 실제 진수인 −x를 보고 조건을 다시 세운 뒤 복원했는지가 이 문제의 확인 지점이다.