장위동 고3수학과외: 움직이는 점의 좌표와 접선의 변화율 점검
장위동에서 성북구 통학권의 고등학교를 다니는 학생은 귀가 뒤 과제와 시험 준비를 함께 진행하면서, 익숙한 계산 절차를 먼저 적용하는 경향을 보였다. 특히 계성고등학교, 용문고등학교, 서울대학교사범대학부설고등학교, 석관고등학교, 고려대학교사범대학부속고등학교 등 성북구 내 통학권을 참고할 때도 학교명보다 실제 학습 시간과 자기점검 순서를 확인하는 것이 중요하다.
움직이는 점을 상수로 둔 첫 풀이
좌표평면 위에서 점 P가 곡선 y=x2 위를 움직이고, 점 P의 x좌표가 시간에 따라 x=t+1로 변한다고 하자. 점 P에서의 접선이 y축과 만나는 점을 Q라 할 때, t=1에서 Q의 y좌표 변화율을 구하는 문제를 풀이했다.
학생은 점 P를 고정된 점처럼 보고 다음과 같이 계산했다.
t=1이면 P=(2,4)이다.
y'=2x=4이므로 접선의 방정식은 y-4=4(x-2)이다.
y축에서 x=0을 대입하면 y=-4이다.
따라서 Q의 y좌표 변화율은 -4이다.
이 결론은 오답이다. 접선의 기울기와 절편을 t=1에서 계산하는 것 자체는 가능하지만, Q가 시간에 따라 움직이는 점이라는 사실을 식에 반영하지 않았기 때문이다. 특히 마지막 값 -4는 Q의 y좌표가 아니라 특정 순간의 y절편일 뿐, 변화율이 아니다.
좌표를 시간함수로 바꾸어 식을 세우기
먼저 움직이는 점의 좌표를 시간함수로 둔다.
P(t)=(t+1,(t+1)2)
곡선 y=x2에서 P의 x좌표가 t+1이므로 접선의 기울기는
m(t)=2(t+1)
따라서 접선은
y-(t+1)2=2(t+1){x-(t+1)}
y축에서 x=0을 대입하면 Q의 y좌표는
q(t)=(t+1)2-2(t+1)2=-(t+1)2
이를 미분하면
q'(t)=-2(t+1)
따라서 t=1에서 Q의 y좌표 변화율은
q'(1)=-4
처음 계산에서 얻은 -4와 숫자는 같지만 의미는 다르다. 처음의 -4는 t=1에서의 y절편이고, 올바른 풀이의 -4는 시간에 따른 y절편의 변화율이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, P를 고정점으로 계산한 줄을 지우고 P(t), Q(t)의 관계를 먼저 적었다. 이후 t=1을 마지막에 대입하고, q(t)=-(t+1)2를 다시 미분해 계산 결과를 확인했다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않도록 조건을 바꾸어 확인했다. 점 P가 곡선 y=3x2 위를 움직이고 x좌표가 x=2t-1일 때, P에서 그은 접선의 y절편을 q(t)라 하자. t=2에서 q'(t)를 구한다.
이번에는
P(t)=(2t-1,3(2t-1)2)
접선의 기울기는
y'=6x=6(2t-1)
y축 절편은 접선식에서 x=0을 대입하여
q(t)=3(2t-1)2-6(2t-1)2=-3(2t-1)2
따라서
q'(t)=-12(2t-1)
t=2에서
q'(2)=-12·3=-36
학생은 이번에는 첫 줄부터 시간변수로 좌표를 표현하고, 접선의 기울기와 y절편을 각각 함수로 만든 뒤 마지막에 t=2를 대입했다. 또한 q(2)=-27, q'(2)=-36을 직접 계산해 절편과 변화율을 혼동하지 않았는지 역검산했다.