장위동고1수학과외: 절댓값 방정식의 경우 나누기 기준
장위동에서 학교 과제와 시험 준비를 함께 점검할 때는 절댓값 방정식을 한 번 풀어 보았는지만 볼 것이 아니라, 풀이를 시작할 때 부호에 따른 경우를 세웠는지 확인해야 한다. 장위동 주소지에 고등학교가 확인된다는 식으로 학교 정보를 단정하기보다, 성북구 통학권의 학교 과제와 귀가 후 학습 시간을 기준으로 풀이 과정을 살펴보는 편이 적절하다.
첫 줄에서 빠진 부호 기준
예를 들어 학교 프린트에 다음 식이 제시되었다.
|2x-5|=7
학생은 절댓값을 바로 없애고 2x-5=7만 적은 뒤 x=6을 답으로 제출했다. 이 값은 실제 해 중 하나이지만, 절댓값 안의 식이 음수인 경우를 확인하지 않았으므로 풀이가 완성된 것은 아니다. 오답표에도 ‘절댓값 안 식의 부호에 따른 경우 나누기’ 표시가 없었다.
경계는 절댓값 안의 식으로 정한다
경우를 나누는 기준은 우변의 7이 아니라 절댓값 안에 있는 2x-5의 부호다. 부호가 바뀌는 경계는
2x-5=0, 따라서 x=5/2
이다. 그러므로 다음처럼 두 구간을 기준으로 식을 세운다.
- 2x-5≥0일 때: 2x-5=7이므로 x=6
- 2x-5<0일 때: -(2x-5)=7이므로 -2x+5=7, 따라서 x=-1
첫 번째 해 6은 2(6)-5=7≥0을 만족하고, 두 번째 해 -1은 2(-1)-5=-7<0을 만족한다. 실제 절댓값 식에 대입해도 |12-5|=7, |-2-5|=7이므로 해는 x=-1, 6이다.
한 경우만 푸는 습관을 풀이 행동으로 바꾸기
귀가 후 문제를 펼쳤을 때 곧바로 이항하지 않고, 절댓값 안의 식을 먼저 네모로 표시하게 한다. 그 아래에 2x-5≥0과 2x-5<0을 나란히 적은 뒤 각각의 절댓값 표현을 결정한다. 이 표시가 있어야 두 번째 식에서 마이너스가 괄호 전체에 붙는지 확인할 수 있다.
이 과정은 절댓값 기호를 기계적으로 지우는 연습과 다르다. |A|=7에서 A=7 또는 A=-7이 되는 이유를, 현재 식의 A=2x-5에 적용하는 것이다.
자료의 단위를 바꿔도 문자 부분부터 정리하기
새로운 자료 문제에서는 길이 표의 단위가 센티미터에서 미터로 바뀌었다고 하자. 변환한 값으로 다음 방정식을 얻었다.
|0.3x-1.2|=0.6
여기서 0.3x와 -1.2는 문자 부분이 다르므로 동류항처럼 합치지 않는다. 먼저 절댓값 안 식의 부호를 기준으로 나눈다.
- 0.3x-1.2≥0일 때: 0.3x-1.2=0.6이므로 0.3x=1.8, x=6
- 0.3x-1.2<0일 때: -(0.3x-1.2)=0.6이므로 -0.3x+1.2=0.6, x=2
학생이 단위를 바꾼 뒤에도 숫자의 모양만 보고 식을 합치지 않고, 문자 부분을 구분한 다음 두 부호 조건을 스스로 적는지 확인한다. x=6에서는 절댓값 안이 0.6, x=2에서는 -0.6이 되어 두 값 모두 원식을 만족한다.
풀이 확인 기준
절댓값 방정식은 답의 개수만 세지 않는다. 절댓값 안 식을 찾아 부호 경계를 세웠는지, 양의 경우와 음의 경우를 모두 식으로 표현했는지, 단위를 바꾼 뒤에도 문자 부분을 기준으로 정리했는지를 함께 본다. 이 세 행동이 새로운 자료 조건에서 도움 없이 나타나면 해당 유형의 복습 목록에서 뺄 수 있다.