월곡동고2수학과외

월곡동고2수학과외, 밑변환 전에 진수 조건부터 확인하는 로그방정식 풀이

월곡동신아파트와 월곡아남아파트, 월곡시장 생활권에서 학교별 지필평가와 수행평가 일정이 달라지면 로그 단원 풀이를 주간 학습량에 맞춰 점검해야 한다. 월곡동 주소의 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 성북구의 계성고등학교·용문고등학교·서울대학교사범대학부설고등학교·석관고등학교·고려대학교사범대학부속고등학교 등 통학권 참고 학교의 문제를 일반화하기보다 학생이 실제로 남긴 식을 기준으로 살펴본다.

진수 2와 8을 비교한 순간 생긴 오류

문제는 다음과 같았다.

log₂ x = log₄ 8

답안에는 밑변환 없이 진수만 비교하여 x=8이라고 적혀 있었다. 그러나 로그의 밑이 서로 다르므로 진수 2와 8을 직접 비교할 수 없다. 또한 식이 실수 범위에서 성립하려면 밑과 진수의 조건을 먼저 확인해야 한다.

밑변환 공식은

log_ab = (log_cb)/(log_ca)

이며, a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1이어야 한다. 이 문제에서는 x가 로그의 진수이므로 x>0이고, 2와 4는 모두 0보다 크며 1이 아니다.

밑을 2로 통일하면 방정식의 구조가 보인다

오류가 시작된 기호에 표시한 뒤, 바로 아래에 올바른 중간식을 다시 쓴다.

log₂x = log₄8

log₂x = (log₂8)/(log₂4) = 3/2

따라서

x = 2^3/2 = 2√2

최종 해 x=2√2는 양수이므로 진수 조건을 만족한다. 반면 x=8은 원래 식에 대입하면 왼쪽이 log₂8=3이고 오른쪽은 log₄8=3/2이므로 방정식을 만족하지 않는다.

식 옆에 조건과 밑변환 중간식을 함께 남기기

풀이할 때는 계산만 이어 쓰지 않고 다음 순서를 답안에 남긴다.

1. x>0을 적는다.
2. 서로 다른 밑을 확인한다.
3. 한 밑으로 통일한다.
4. 계산한 값을 지수형으로 바꾼다.
5. 구한 해를 진수 조건과 원래 식에 대입한다.

이 과정을 적용하면

x>0,   log₄8 = (log₂8)/(log₂4)=3/2,   log₂x=3/2,   x=2√2

처럼 밑변환이 생략되지 않는다. 기본 예제에서는 조건을 찾더라도 진수와 밑이 함께 바뀐 식에서 다시 진수만 비교하면, 현재의 풀이 연결이 아직 안정되지 않은 것이다.

새 밑과 진수로 확인하는 마지막 검산

앞의 예제를 가린 상태에서 다음 문제를 풀이한다.

log₃ x = log₉27

먼저 x>0을 적고 밑을 3으로 바꾸면

log₃x = (log₃27)/(log₃9) = 3/2

따라서

x=3^3/2=3√3

이다. 3√3>0이므로 진수 조건도 충족한다. 이 문제에서도 진수 3과 27을 직접 비교하지 않고, 밑변환 중간식과 조건을 스스로 남겼는지까지 확인해야 한다.