월곡동고1수학과외: 주어진 근으로 고차방정식의 계수 정하기
월곡동의 학교별 내신 일정과 귀가 후 학습시간은 서로 다를 수 있지만, 고차방정식에서 근이 제시된 문항은 공통적으로 근을 인수로 바꾸고, 주어진 계수 조건을 적용하는 과정이 필요하다. 답의 부호와 범위를 마지막에 확인하지 않으면 식을 전개한 뒤에도 오류를 찾기 어렵다.
빠진 한 줄이 계수 전체를 바꾼 사례
학교 프린트에 다음과 같은 문항이 있었다고 하자.
방정식 ax3+bx2+cx+d=0의 세 근이 2, -1, 3이고 a=2일 때 b+c+d를 구하여라.
학생의 답안에는 근을 확인한 표시 없이 곧바로 전개된 식만 적혀 있었고, 마지막에 부호와 계수 조건을 따로 점검하지 않았다. 이 문제에서 근 2, -1, 3은 각각 인수 (x-2), (x+1), (x-3)으로 바뀐다.
따라서 방정식은
2(x-2)(x+1)(x-3)=0
이다. 먼저
(x-2)(x+1)=x2-x-2
이고, 이를 (x-3)과 곱하면
(x2-x-2)(x-3)=x3-4x2+x+6
이다. 전체에 2를 곱하면
2x3-8x2+2x+12=0
이므로 b=-8, c=2, d=12이다. 구하는 값은 b+c+d=-8+2+12=6이다.
근의 목록을 바로 계수로 바꾸지 않기
학생이 자주 생략한 부분은 ‘근이 주어졌으므로 인수를 만든다’는 판단이다. 근이 r이면 인수는 (x-r)이므로, 음의 근 -1에서는 (x+1)이 되어야 한다. 또한 최고차항 계수가 2인데 (x-2)(x+1)(x-3)만 쓰면 최고차항 계수가 1인 식이 된다. 따라서 앞에 2를 곱해야 한다.
전개 뒤에는 실제 근을 대입해 확인할 수 있다. 예를 들어 x=2를 넣으면
2(2)3-8(2)2+2(2)+12=16-32+4+12=0
이고, x=-1을 넣어도 -2-8-2+12=0이다. 세 근 모두 식을 0으로 만드는지 확인해야 계수의 부호를 놓치지 않는다.
풀이 시작 전에 말로 고정할 판단
혼자 풀 때는 계산을 시작하기 전에 다음 문장을 짧게 말하게 한다.
- 근 2, -1, 3에 대응하는 인수는 각각 (x-2), (x+1), (x-3)이다.
- 최고차항 계수가 2이므로 세 인수의 곱 앞에 2를 붙인다.
- 전개한 뒤 각 항의 계수를 b, c, d와 대응시킨다.
이후 답을 적기 전에는 부호, 최고차항 계수, 계산한 값의 범위를 확인한다. 이 문제의 b+c+d=6은 계수 세 개를 더한 값이지, 근 세 개의 합인 4를 구하는 문제가 아니다.
새 수치에서 순서를 바꾸어 확인하기
훈련 문항은 다음처럼 바꾼다.
삼차방정식 px3+qx2+rx+s=0의 근이 -2, 1, 4이고 최고차항의 계수가 5일 때 q-r+s를 구하여라.
학생이 먼저 5(x+2)(x-1)(x-4)를 세우는지 확인한다. 곱을 계산하면
(x+2)(x-1)=x2+x-2
(x2+x-2)(x-4)=x3-3x2-6x+8
이므로 원래 식은
5x3-15x2-30x+40=0
이다. 따라서 q=-15, r=-30, s=40이고, q-r+s=-15-(-30)+40=55이다.
이번에는 근을 먼저 인수로 바꾸는 과정, 최고차항 계수 5를 붙이는 과정, 음수 계수를 원래 식에 대응시키는 과정을 혼자 수행하는지 본다. 같은 식을 다시 푸는 대신 숫자와 근의 부호가 달라진 문항에서 이 순서가 재현되어야 계수 결정 과정을 실제로 익힌 것으로 판단할 수 있다.