월곡동 고3수학과외: 최단거리에서 좌표 차와 실제 거리를 구분하기
월곡동 생활권에서 성북구 내 계성고등학교, 용문고등학교, 서울대학교사범대학부설고등학교, 석관고등학교, 고려대학교사범대학부속고등학교 등을 통학권 참고 자료로 볼 때, 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간은 서로 다를 수 있다. 이 사례의 학생은 계산 속도보다 최단거리 문제의 판단 기준을 세우는 과정에서 자주 멈췄다.
좌표 차만 줄인 풀이가 왜 틀렸는가
곡선 y=x2 위의 점 P와 점 A(0, 3) 사이의 거리가 최소가 되도록 하자. 단, P의 x좌표는 -1≤x≤2이다.
학생은 P를 (x,x2)로 둔 뒤 다음처럼 시작했다.
|x-0|=|x|을 최소화하면 x=0이므로 P=(0,0)이다.
이 식은 x좌표의 차이만 나타내므로 두 점 사이의 실제 거리가 아니다. y좌표가 달라지는 상황에서 좌표 차 하나만 최소화하면 점 A와의 직선거리를 판단할 수 없다. 따라서 학생의 결론 x=0은 최단거리 조건을 반영하지 못한 오답이다.
거리 제곱으로 변수 관계를 정리하기
두 점 사이 거리의 제곱은 항상 음이 아니며, 거리와 같은 점에서 최소가 된다.
P와 A 사이 거리의 제곱을 함수로 두면
D(x)=(x-0)2+(x2-3)2
이므로
D(x)=x2+(x2-3)2
D′(x)=2x+4x(x2-3)=2x(2x2-5)
후보는
- x=0
- x=±√(5/2)
- 구간의 끝점 x=-1, 2
조건 -1≤x≤2에 맞는 후보만 남기면 x=0, x=√(5/2), x=-1, x=2이다. 각각의 거리 제곱은
- D(0)=9
- D(√(5/2))=5/2+1/4=11/4
- D(-1)=1+4=5
- D(2)=4+1=5
따라서 최솟값은 11/4이고, 최단거리는 √11/2이다. 실제 최단점은 P(√(5/2),5/2)이다.
오답 줄을 다시 쓰고 검산하는 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 “거리의 대상이 x좌표인가, 두 점 전체인가?”를 확인했다. 이후 P의 두 좌표가 각각 x와 x2로 함께 변한다는 관계를 적고,
|x| → √{x2+(x2-3)2}
로 식을 수정했다. 마지막에는 x=√(5/2)를 대입하여 P의 좌표를 확인하고, 네 후보의 거리 제곱을 다시 비교했다. 그래프에서도 점 A에 가장 가까운 곡선 위의 점이 x=0이 아님을 확인하면서 계산과 그림의 결과를 맞췄다.
계수를 바꾼 독립 검증
이번에는 곡선 y=x2 위의 점 Q와 점 B(0,2) 사이의 거리를 구하되, -2≤x≤1에서 최솟값을 찾는다.
거리 제곱은
F(x)=x2+(x2-2)2
이고,
F′(x)=2x+4x(x2-2)=2x(2x2-3)
후보는 x=0, x=±√(3/2), -2, 1이다. 주어진 구간에서는 -√(3/2)와 0, -2, 1을 비교한다.
- F(-√(3/2))=3/2+1/4=7/4
- F(0)=4
- F(-2)=8
- F(1)=2
따라서 독립 검증에서도 좌표 차가 아니라 거리 제곱을 비교해야 하며, 최솟값은 7/4, 최단거리는 √7/2이다.