안암동고2수학과외

안암동 고2수학과외에서 다룬 로그 합·차 변형의 검산 순서

로그방정식은 모양이 조금만 바뀌어도 이전 풀이를 그대로 옮기면 오류가 생깁니다. 용문고등학교를 비롯해 성북구 내 학교의 시험 범위와 수행평가 일정을 함께 관리할 때도, 풀이를 외우기보다 식의 계수와 부호가 바뀐 순간마다 조건·계산·검산을 새로 확인해야 합니다.

log₃x+log₃(x-2)를 합칠 때 생긴 오류

다음 방정식을 살펴봅니다.

log₃x+log₃(x-2)=1

풀이 과정에서 다음과 같이 적었다면 잘못된 식입니다.

log₃(2x-2)=1

로그의 합은 진수의 합이 아니라 곱으로 바꾸어야 합니다.

log₃x+log₃(x-2)=log₃[x(x-2)]

따라서 정의조건부터 확인하면

x>0, x-2>0 → x>2

이후

log₃[x(x-2)]=1
x(x-2)=3
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0

후보는 x=3, x=-1이지만 정의조건 x>2를 만족하는 값은 x=3뿐입니다. 원래 식에 대입해도 log₃3+log₃1=1+0=1이므로 검산이 일치합니다.

조건·계산·검산을 나누어 오류 위치 찾기

풀이가 막혔을 때 전체를 지우고 다시 쓰기보다 세 칸으로 나눕니다.

• 조건: x>0, x-2>0이므로 x>2
• 계산: log₃x+log₃(x-2)=log₃[x(x-2)]
• 검산: 얻은 후보를 원래 로그방정식에 대입

앞의 오답은 계산 칸에서 곱셈 법칙을 덧셈으로 바꾼 데서 발생했습니다. 계산 칸만 정확히 고친 뒤에도 후보 x=-1을 답에 남겼다면, 이번에는 검산 칸에서 정의조건을 놓친 것입니다.

계수와 부호가 함께 바뀐 식에서 풀이 재구성하기

새 조건으로 다음 문제를 풉니다.

2log₃(x-1)-log₃(x+3)=1

이번에는 먼저

x-1>0, x+3>0 → x>1

을 적습니다. 로그의 계수와 차의 법칙을 적용하면

log₃(x-1)²-log₃(x+3)=1

log₃ [(x-1)²/(x+3)]=1

따라서

(x-1)²/(x+3)=3
x²-2x+1=3x+9
x²-5x-8=0

후보는 x=(5±√57)/2입니다. 이 중 (5-√57)/2는 1보다 작으므로 제거하고, 정의조건을 만족하는 해는

x=(5+√57)/2

입니다. 마지막으로 이 값을 원래 식의 진수 x-1과 x+3에 대입해 모두 양수인지 확인해야 합니다. 계수와 부호가 동시에 바뀌었으므로 앞 문제의 식을 복사하지 않고, 조건부터 계산 순서를 다시 세운 점이 핵심입니다.