안암동고1수학과외: 근호방정식 제곱 뒤 무연근 검산
용문고등학교 학교 프린트에서 근호방정식을 풀 때, 제곱한 뒤 나온 값을 곧바로 답으로 옮기는 풀이가 보였다. 안암동고1수학과외에서는 제곱이 새로운 해를 만들 수 있다는 점을 식으로 확인하고, 원래 근호식에 대입하는 과정을 풀이의 일부로 다룬다.
제곱한 식에서 후보가 늘어나는 장면
다음 방정식을 살펴보자.
√(x+1) = x-1
양변을 제곱하면
x+1 = (x-1)²
x+1 = x²-2x+1
x²-3x = 0
x(x-3)=0
따라서 제곱한 식에서는 x=0 또는 x=3이 나온다. 그러나 원래 식의 왼쪽은 항상 0 이상이므로 오른쪽 x-1도 0 이상이어야 하며, 먼저 x≥1이라는 조건을 확인할 수 있다.
실제 풀이에서 학생은 두 값을 답란에 모두 적고 원래 식을 다시 확인하지 않았다. 이때 x=0은 제곱한 식은 만족하지만 원래 식에서는
√(0+1) = 1, 0-1 = -1
이므로 1=-1이 되어 성립하지 않는다. x=0은 제곱 과정에서 생긴 무연근이다. x=3은
√(3+1)=2, 3-1=2
이므로 원래 방정식을 만족한다. 최종 해는 x=3이다.
‘후보’와 ‘해’를 구별하는 표시
양변 제곱은 풀이를 간단하게 만들지만, 원래 식과 동치인 변형이라고 무조건 볼 수는 없다. 위 문제처럼 제곱한 결과에서 얻은 값은 우선 후보로 두고, 마지막에 원래 근호식에 대입해야 한다.
풀이 시작 전 긴 설명을 적을 필요는 없다. 대신 제곱한 뒤 나온 값 옆에 ‘원식 대입’이라고 표시하고, 후보마다 계산 결과를 짧게 남긴다.
- x=0: √1=-1은 거짓이므로 제외
- x=3: √4=2는 참이므로 채택
틀린 줄을 고친 뒤에도 이 표시가 빠져 있다면 계산만 수정된 것이지, 무연근을 판별하는 수학적 행동까지 완성된 것은 아니다.
표현이 달라도 같은 판단을 찾는 연습
학교 문제집에는 다음과 같이 계수가 달라진 식이 나올 수 있다.
√(2x+3) = x
제곱하면
2x+3=x²
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
후보는 x=3, x=-1이다. 원래 식에 대입하면 x=3에서는 √9=3이 참이고, x=-1에서는 √1=-1이 거짓이다. 따라서 해는 x=3만 남는다.
이 식을 좌표로 나타내면 두 그래프 y=√(2x+3)과 y=x의 교점 중 실제 교점은 (3,3)이다. 제곱한 식에서 얻은 x=-1은 두 원래 그래프가 만나는 점이 아니다. 식으로 제시되었는지 그래프로 제시되었는지가 달라도, 원래 근호식 또는 원래 그래프에 맞는지 확인한다는 같은 개념을 찾아야 한다.
학교 일정 속 검산 항목 확인
용문고등학교의 학교 프린트와 문제집의 표현이 다르고, 수행평가와 지필평가 준비가 같은 주간에 겹칠 때는 긴 풀이를 새로 정리하기보다 근호방정식의 후보를 원식에 대입하는 부분을 짧게 점검할 수 있다. 평일 귀가 후에는 위와 같이 후보별로 참·거짓을 적고, 주말에는 좌표 그래프 형태로 바뀐 문제에서 실제 교점까지 확인한다.
검증 문제에서 좌표값이나 계수가 바뀌어도 학생이 제곱한 식의 해를 즉시 최종 답으로 쓰지 않고, 원래 근호식 또는 그래프에 다시 연결한다면 해당 판단이 자리 잡은 것으로 본다. 수행평가와 지필 문제에서 표현은 달라도 공통 개념인 ‘제곱 후 원식 검산’을 스스로 찾아 실행하는지가 마지막 확인 기준이다.