안암동 고3 수학과외: 거리 변화율을 부호와 공간 조건으로 검증하기
안암동의 용문고등학교 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 고려해 학습 순서를 조정하고 있다. 같은 성북구의 계성고등학교, 서울대학교사범대학부설고등학교, 석관고등학교, 고려대학교사범대학부속고등학교는 참고 학교로 구분하며, 특정 학교의 시험 경향을 단정하지 않고 현재 풀이에서 부족한 조건 해석을 먼저 점검했다.
거리의 제곱을 먼저 미분해야 하는 이유
점 P(t)=(t,4-t2)가 움직이고 고정점이 Q=(0,1)일 때 두 점 사이 거리를
D(t)=√{t2+(3-t2)2}
로 둘 수 있다. 학생은 0≤t≤2에서 거리가 최소가 되는 순간을 찾으며, 거리의 변화율도 함께 계산했다. 거리의 제곱을
S(t)=D(t)2=t2+(3-t2)2
로 두면
S'(t)=2t-4t(3-t2)=4t3-10t
이고, D'(t)=S'(t)/(2D(t))이다. 따라서 t=1에서
D'(1)=(-6)/(2√5)=-3/√5
이다. 음수이므로 해당 순간에는 두 점 사이 거리가 감소한다.
부호가 뒤집힌 오답을 바로잡은 과정
학생의 오답: D'(1)=3/√5
학생은 3-t2을 미분할 때 부호를 빠뜨려 −4t(3-t2)를 +4t(3-t2)로 바꾸었다. 이 식은 오답이다. 안쪽 함수 3-t2의 변화율이 −2t이므로 제곱을 미분한 항은 반드시 −4t(3-t2)가 되어야 한다.
- 틀린 줄 표시: S'(t)=2t+4t(3-t2)
- 조건과 변수 관계 확인: t가 증가하면 4-t2는 감소한다.
- 식 수정: S'(t)=2t−4t(3-t2)
- 대입 검산: t=1에서 S'(1)=2−8=−6
- 역검산: t=1 부근에서 t를 증가시키면 P의 y좌표가 내려가 고정점에 가까워지는 방향이므로 거리 변화율이 음수인 결과와 일치한다.
거리 최소화에서는 미분값이 0인 후보와 끝점을 모두 확인해야 한다. S'(t)=2t(2t2−5)이므로 구간 안 후보는 t=0, t=√(5/2)이다. 끝점 포함 여부를 [0,2]로 표시한 뒤
- D(0)=3
- D(√(5/2))=√(11/4)
- D(2)=√5
를 비교하면 최소 거리는 t=√(5/2)에서 나온다. 대표값 t=1에서는 변화율이 음수이고, t=2에서는 D'(2)=6/√5>0이므로 감소 후 증가한다는 결론도 일관된다.
3차원 조건으로 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고 점을
P(t)=(t,4-t2,t−1), Q=(0,1,0)
로 바꾸었다. 이때 z좌표 차이가 생기므로 거리의 제곱은
S3(t)=t2+(3-t2)2+(t−1)2
이다. z항을 누락한 학생의 후보식은 −3/√5였지만, 이는 3차원 문제의 오답이다. 정확히 미분하면
S3'(t)=2t−4t(3-t2)+2(t−1)=4t3−8t−2
이고, t=1에서 S3'(1)=−6, D3(1)=√10이므로
D3'(1)=−3/√10
이다. z항을 추가한 뒤에도 변화율의 부호는 음수지만 크기는 달라진다. 학생은 잘못된 후보 −3/√5를 거리 자체에 대입해 확인하고, 3차원 거리에는 세 좌표 차이의 제곱이 모두 들어가야 한다는 조건을 스스로 제거 기준으로 정리했다.