성북동고2수학과외

성북동고2수학과외: 밑변환 계산에서 로그방정식의 오답 줄 찾기

로그방정식에서 답이 틀린 이유가 마지막 계산에만 있는 것은 아니다. 밑과 진수를 분리하지 않은 채 밑변환을 생략하면, 학생이 어느 줄에서 원래 식을 바꾸었는지 추적하기 어려워진다. 성북동에서 홍익대학교사범대학부속고등학교나 서울동구고등학교의 과제와 지필평가를 준비할 때도 답만 적기보다 밑변환 과정을 남기는 것이 중요하다. 같은 성북구의 계성고등학교, 용문고등학교, 서울대학교사범대학부설고등학교 자료를 참고하더라도 학교별 문제는 다를 수 있으므로 식의 구조를 확인해야 한다.

log₂x와 log₄8을 진수끼리 비교한 순간

다음 로그방정식을 풀어 보자.

log₂x = log₄8

풀이 여백에 학생이 밑변환 계산 없이 진수의 숫자 2와 8을 비교하여 x=8이라고 적었다면, 양변의 로그가 같은 밑인지 먼저 확인하지 않은 것이다. 왼쪽의 밑은 2이고 오른쪽의 밑은 4이므로 진수의 같음을 바로 적용할 수 없다. 로그의 밑이 같을 때에만 log_aM=log_aN에서 M=N을 사용할 수 있다.

밑을 2로 통일하면 계산 줄에서 오류가 보인다

오른쪽 로그를 밑변환하면

log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3/2

따라서 원래 방정식은

log₂x=3/2

가 되고, 로그의 정의에 따라

x=2^3/2=2√2

이다. 정의조건 x>0도 만족한다. 반면 잘못 얻은 x=8을 원래 식에 대입하면

왼쪽은 log₂8=3이고, 오른쪽은 log₄8=3/2

이므로 등식이 성립하지 않는다. 대입 검산을 하면 밑변환을 생략한 줄이 오답 발생 지점으로 좁혀진다.

식을 보존하는 세 줄 훈련

비슷한 문제를 풀 때에는 바로 진수를 비교하지 말고 답안에 다음 세 줄을 남긴다.

1. 두 로그의 밑이 같은지 확인한다.
2. 다르면 한 밑으로 통일한다.
3. 계산한 값을 원래 로그방정식에 대입한다.

위 문제에서는 log₄8=(log₂8)/(log₂4)=3/2를 먼저 써야 한다. 이 한 줄은 밑변환의 근거를 남기면서 원래 식의 관계도 보존한다. 또한 로그의 밑은 0보다 크고 1이 아니어야 하며, 진수 x도 양수여야 한다.

진수와 밑이 함께 바뀐 문항에서 다시 세우기

새로운 식으로 다음을 확인한다.

log₃(x+1)=log₉27

이번에는 진수가 x+1로 바뀌었으므로 먼저 x+1>0을 적는다. 오른쪽을 밑 3으로 바꾸면

log₉27 = log₃27 / log₃9 = 3/2

따라서

log₃(x+1)=3/2,
x+1=3^3/2=3√3,
x=3√3-1

이다. 3√3-1>0이므로 진수 조건도 충족한다. 밑변환 없이 27을 답으로 쓰면 왼쪽은 log₃28이 되어 원래 등식과 맞지 않는다. 새로운 식에서도 밑을 통일하고, 바뀐 진수의 조건을 적은 뒤, 마지막에 원래 식에 대입하는 순서가 유지되는지 확인한다.