성북동 고3 수학과외: 제약조건을 반영한 최단거리 풀이 점검
성북동에서 고3 수학과외 학습을 진행하는 학생은 귀가 시각과 과제량을 고려해 시험 준비 순서를 조정하고 있지만, 최단거리 문제에서는 마지막 답만 고치고 중간식의 첫 오류를 찾지 못하는 문제가 있었다. 특히 서울 성북동의 지역 내 고등학교로 확인된 홍익대학교사범대학부속고등학교와 서울동구고등학교, 같은 성북구의 참고 학교들을 구분해 일정표를 세우듯이, 수학에서도 주어진 조건과 변수의 역할을 먼저 구분해야 한다.
두 변수를 그대로 둔 순간 생긴 오류
학생은 다음 문제에서 점 P(x,y)가 제1사분면의 선분 2x+y=6 위에 있고, 원점과의 거리를 최소화해야 한다는 조건을 받았다. 단, 0≤x≤3, 0≤y≤6이다.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: 거리의 제곱은 f(x,y)=x²+y²이다. 따라서 fx=2x=0이므로 x=0, 선분의 식에 대입하면 y=6이다. 최솟값은 6이다.
이 식은 거리의 제곱 자체는 맞지만, 제약조건 2x+y=6을 반영하지 않은 오답이다. x와 y를 독립적으로 미분하면서 실제로는 함께 변해야 하는 두 변수를 따로 취급했기 때문이다. 또한 (0,6)은 후보점일 뿐인데, 내부에서 최솟값을 찾은 것처럼 결론을 내렸다.
조건으로 변수를 줄인 뒤 끝점까지 비교하기
먼저 제약조건에서
y=6-2x
로 정리한다. 그러면 거리의 제곱은 한 변수 함수가 된다.
F(x)=x²+(6-2x)²=5x²-24x+36
미분하면
F′(x)=10x-24
이므로
F′(x)=0 ⟺ x=12/5
이때
y=6-2×12/5=6/5
이다. 범위가 0≤x≤3이므로 끝점 x=0,3도 포함해 비교해야 한다.
- F(0)=36
- F(3)=9
- F(12/5)=144/25+36/25=180/25=36/5
따라서 최솟값은 36/5이고, 원점과 점 P 사이의 최단거리는 6/√5이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 2x+y=6을 다시 확인하고 y=6-2x로 변수를 하나로 줄였다. 이후 내부 후보와 양 끝점을 모두 대입해 거리의 제곱을 비교했다.
계수와 조건을 바꾼 독립 검산
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 직선과 구간을 바꿔 다음 문제를 검산했다.
점 P(x,y)가 제1사분면의 선분 3x+2y=12 위에 있고, 0≤x≤4일 때 원점과의 최단거리를 구한다.
제약조건에서
y=(12-3x)/2=6-3x/2
이므로
G(x)=x²+(6-3x/2)²
G′(x)=2x-3(6-3x/2)=13x/2-18
따라서
x=36/13, y=6-54/13=24/13
이다. 끝점과 내부값을 비교하면
- G(0)=36
- G(4)=16
- G(36/13)=1296/169+576/169=1872/169
1872/169<16<36이므로 내부 후보가 최솟값을 갖는다. 학생은 이번에는 조건식으로 변수를 먼저 줄이고, 구간의 끝점 포함 여부를 적은 뒤 대입과 역계산까지 완료했다.