성북동고1수학과외, 고차식 인수분해와 치환을 가르는 기준
고1 방정식에서는 식의 차수만 보고 바로 인수분해를 시도하면 풀이 방향이 어긋날 수 있다. 성북동의 학교 과제와 시험 준비를 점검할 때도 귀가 후 문제 수보다 먼저, 주어진 식이 원래 문자로 인수분해되는지 또는 새로운 문자로 바꾸어야 하는지를 판단하는 과정이 필요하다.
x4-7x2+12에서 빠진 한 줄
예를 들어 다음 방정식을 보자.
x4-7x2+12=0
이 식은 네 차식이지만 x4와 x2가 각각 같은 문자 x2의 제곱과 일차식처럼 연결되어 있다. 따라서 t=x2로 치환하면
t2-7t+12=0
이고,
(t-3)(t-4)=0
이므로 t=3 또는 t=4이다. 원래 문자로 돌아오면 x2=3 또는 x2=4이므로 해는
x=±√3, ±2
이다. t=3, 4를 그대로 x의 해라고 쓰지 않는 것이 치환 풀이의 마지막 조건이다.
치환식만 적고 원래 문자와의 대응을 남기지 않은 풀이
관찰된 답안에는 문제의 식 아래에 곧바로 t2-7t+12=0을 적고, t=3, 4를 구한 뒤 다음 문제로 넘어간 흔적이 있었다. 풀이 시작 전에 ‘인수분해 가능한 고차식과 치환이 필요한 식 구별’을 한 줄로 적지 않았고, t가 x2를 뜻한다는 대응도 메모하지 않았다.
이 상태는 이차방정식 계산은 수행하지만, 현재 식의 구조를 원래 문자와 연결하지 못하는 단계다. 특히 t=3, 4를 답으로 제출하면 변수 자체가 바뀐 채 결론이 끝나므로 방정식의 해를 구한 것이 아니다.
t=x2로 두면 t의 해를 구한 뒤 반드시 x2=t로 되돌린다.
인수분해와 치환을 구별하는 실제 점검
모든 고차식에 치환을 적용하는 것도 맞지 않다. 예를 들어
x3-4x2-x+4=0
에서는 항을 묶어
x2(x-4)-(x-4)=0
으로 정리할 수 있다. 따라서
(x2-1)(x-4)=0
이고, 다시 (x-1)(x+1)(x-4)=0이므로 해는 x=1, -1, 4이다. 이 식은 x2와 상수항이 일정한 형태로 반복되는 식이 아니므로 t=x2로 치환하는 것보다 항의 묶음 관계를 찾는 편이 적절하다.
풀이 전에는 식의 항을 살펴 같은 덩어리의 거듭제곱이 반복되는지, 또는 항을 묶었을 때 공통인수가 생기는지를 한 줄로 판정한다. 풀이가 끝난 뒤에는 처음의 판정과 실제 전개가 일치했는지도 다시 표시한다.
성북동의 과제 흐름에 맞춘 두 번의 확인
홍익대학교사범대학부속고등학교와 서울동구고등학교는 성북동 지역 내 학교로 확인되며, 계성고등학교·용문고등학교·서울대학교사범대학부설고등학교는 같은 성북구의 참고 학교이지 성북동 소재 학교로 단정할 수 없다. 학교별 출제 경향을 가정하기보다, 귀가 시각과 과제량에 따라 고차방정식 풀이 앞뒤에 짧은 점검 칸을 두는 방식이 유용하다.
- 풀이 전: “원래 문자로 묶이는가, 반복되는 식을 새 문자로 둘 것인가?”
- 풀이 후: “새 문자와 원래 문자의 대응을 이용해 조건과 결론을 모두 적었는가?”
이 두 확인은 문구를 외우는 데 목적이 있지 않다. 실제 식에서 치환 여부를 판단하고, 치환한 뒤 원래 변수의 해로 복귀했는지를 남기는 행동을 고정하는 데 의미가 있다.
항의 배열과 조건 제시가 달라진 서술형 검증
검증 문제는 같은 식을 반복하지 않고 다음처럼 조건의 제시 순서와 항의 배열을 바꾼다.
4y2+1-5y4=0
먼저 식을 5y4-4y2-1=0처럼 정리한 뒤, u=y2로 두면
5u2-4u-1=0
이다. 인수분해하면
(5u+1)(u-1)=0
이므로 u=-1/5 또는 u=1이다. 실수 범위에서 y2=-1/5는 불가능하고, y2=1에서 y=±1을 얻는다.
서술형 답안에는 u=y2라는 사용 조건, u의 두 값, 음수 제곱 조건에 따른 배제, 최종 결론 y=±1을 모두 남겨야 한다. 계산식만 맞고 조건과 결론이 빠졌다면 검산이 아직 계산 반복에 머문 것이다. 조건을 확인하며 답의 범위를 결정하는지까지 확인할 때, 새로운 배열의 문제에서도 치환 판단을 혼자 적용했다고 볼 수 있다.