석관동중2수학과외, 경우의 수를 빠르게 세는 것보다 정확히 분류하는 연습
중2 수학에서 경우의 수 문제는 답을 구하는 계산보다, 무엇을 한 번씩 세고 있는지 정리하는 과정이 더 중요하다. 특히 시험범위를 압축해 공부하거나 중3 선행을 시작하려는 시기에는 여러 유형을 넓게 훑기보다 한 문제의 경우를 빠짐없이 나누고 겹치지 않게 세는 훈련이 필요하다. 석관동중학교 학생이라면 방과후 이동 시간과 자습 가능 시간을 함께 고려해, 짧은 시간에도 풀이 구조를 남기는 방식으로 공부 계획을 세울 수 있다.
정답보다 먼저 확인하는 풀이 장면
예를 들어 티셔츠 3장과 바지 2벌 중 하나씩 골라 옷을 입는 경우를 묻는 문제에서 학생은 티셔츠를 기준으로 바지를 연결해야 한다. 그런데 첫 번째 티셔츠에 바지 두 벌을 적은 뒤 두 번째 티셔츠로 넘어가면서 한 가지를 빠뜨리거나, 이미 적은 조합을 다시 적기도 한다.
더 복잡한 문제에서는 수형도의 첫 가지를 세 개로 나누고도 마지막 가지에서 선택지를 하나만 적는다. 반대로 ‘검은색 상의와 청바지’처럼 같은 조합을 표현만 바꾸어 두 번 세기도 한다. 이때 학생이 “모르겠다”라고 말하는 것보다 중요한 것은 어느 단계에서 가지가 사라졌는지 설명할 수 있는가이다.
경우의 수 오답은 계산 실수가 아니다
- 조건을 읽고도 선택 순서를 정하지 않아 같은 경우를 반복한다.
- 첫 번째 선택 뒤 두 번째 선택이 어떻게 달라지는지 표시하지 않는다.
- 수형도의 중간 가지를 생략해 일부 경우를 세지 않는다.
- 남자와 여자를 나누어 세어야 하는 문제에서 한 기준만 사용한다.
- ‘적어도 하나’, ‘서로 다른’, ‘짝수’ 같은 조건을 목록에 표시하지 않는다.
따라서 오답을 모두 집중력 부족으로 처리하면 같은 장면이 다시 나타난다. 경우를 세기 전에 조건을 분리하고, 선택의 기준을 고정한 뒤, 마지막에 다른 방식으로 개수를 확인해야 한다.
수형도 하나만 고집하지 않는 훈련
먼저 문제의 조건에 밑줄을 긋고, 첫 선택과 두 번째 선택을 문장으로 적는다. “상의 선택 후 하의 선택”처럼 순서를 정한 뒤 수형도의 가지마다 실제 선택 내용을 기록한다. 가지를 그린 다음에는 끝점에 번호를 붙여 1번부터 빠짐없이 확인한다.
경우가 많아지면 목록 대신 표를 사용한다. 예를 들어 상의 A, B, C를 세로줄에 놓고 하의 1, 2를 가로줄에 배치하면 각 칸이 하나의 조합이 된다. 표에서 조건에 맞지 않는 칸에는 X를 표시하고, 남은 칸을 세면 된다. 같은 문제를 다시 풀 때에는 수형도를 표로 바꾸어 세어 보며 두 결과가 같은지 확인한다.
경우의 수에서는 ‘몇 개인가’보다 ‘각 경우가 어디에 기록되어 있는가’를 먼저 설명하게 한다.
석관동 학생의 학습 시간에 맞춘 적용
석관동코롱아파트와 석관동코오롱아파트 등 생활권에서 학교나 학원으로 이동한 뒤 자습 시간이 짧아지는 날에는 긴 문제집 풀이보다 한 문제의 구조를 완성하는 편이 효율적이다. 이동 전에는 조건에 표시하고, 귀가 후에는 수형도나 표를 완성한 뒤 중복·누락을 점검하는 식으로 시간을 나눌 수 있다.
지역 내 학교로 확인되는 석관중학교와 성북구 내 참고 학교인 개운중학교, 고려대학교사범대학부속중학교, 고명중학교, 길음중학교는 구분해서 볼 필요가 있다. 학교별 시험 출제경향을 단정하기보다 현재 학교 프린트와 학생이 실제로 틀린 문제를 기준으로 연습량을 정하는 것이 안전하다.
중3 선행 전에 새 문제로 확인하기
기존 문제를 다시 맞힌 것만으로는 경우의 수를 익혔다고 보기 어렵다. 먼저 티셔츠 3장과 바지 2벌 문제를 해결했다면, 다음에는 신발 2켤레를 추가하고 “검은색 상의를 고른 경우는 제외”와 같은 조건을 넣어 새 문제를 제시한다.
학생은 조건을 다시 표시하고, 수형도 또는 표 중 하나를 선택해 모든 경우를 적어야 한다. 이후 같은 조건을 수형도와 곱셈식으로 각각 확인한다. 단순히 3×2라고 답하는 것이 아니라 왜 각 상의에 바지 두 가지가 연결되는지 말해야 한다. 제한 시간 안에 풀이 구조를 남기는지도 함께 확인한다.
과외에서 다루는 실제 점검 순서
- 문제의 선택 대상과 제한 조건에 색을 달리해 표시한다.
- 첫 선택 기준을 정하고 수형도, 목록, 표 중 하나를 고른다.
- 각 끝점에 번호를 붙여 중복과 누락을 확인한다.
- 같은 경우를 다른 표현으로 다시 적었는지 역검토한다.
- 숫자와 조건을 바꾼 독립 문제를 시간 제한 안에 해결한다.
학생이 학습 순서를 스스로 정해야 하는 시기에는 “오늘 경우의 수를 공부한다”에서 끝내지 않고, “조건 표시→구조 선택→전체 나열→다른 방법으로 검산”처럼 행동 단위로 계획을 세우게 한다. 시험이 끝난 뒤 공부법 전체를 바꾸기보다, 새 문제에서 같은 누락이 재현되는지 먼저 확인해야 한다.
자주 묻는 질문
경우의 수는 곱셈식만 쓰면 되나요?
각 선택이 독립적으로 이어지고 선택 수가 일정할 때는 곱셈식을 쓸 수 있다. 조건에 따라 선택 수가 달라지면 수형도나 표로 실제 경우를 먼저 확인해야 한다.
수형도와 표 중 무엇이 더 좋은가요?
정해진 방법은 없다. 순서가 단계적으로 이어지면 수형도, 두 기준을 교차해 확인하기 쉬우면 표가 적절하다. 중요한 것은 중복과 누락을 검토할 수 있는 구조를 남기는 것이다.
중3 선행은 언제 시작하나요?
현재 경우의 수 문제에서 조건을 표시하고 모든 경우를 체계적으로 나열한 뒤, 숫자와 조건이 바뀐 문제까지 설명하며 해결할 수 있는지 먼저 확인하는 것이 좋다.