석관동중3수학과외, 제곱근의 근삿값을 바뀐 조건에서도 스스로 찾는 연습
학생은 다음 문제에서 멈췄다.
√50은 √49보다 크고 √64보다 작다. √50의 값을 소수 첫째 자리까지 구하여라.
처음 적은 답은 “√50은 7과 8 사이이므로 7.5”였다. 7과 8 사이에 있다는 판단까지는 맞았지만, 양 끝 수의 가운데를 바로 근삿값으로 정한 것이 문제였다. 제곱근의 근삿값은 수직선에서 단순히 중간 위치를 고르는 과정이 아니라, 후보를 제곱하여 원래 수와 비교하는 과정으로 확인해야 한다.
7과 8 사이에서 바로 7.5를 고르면 안 되는 이유
먼저 7.5를 제곱하면 다음과 같다.
7.5²=56.25
이는 50보다 크므로 √50은 7.5보다 작다. 7.4와 7.5를 비교하면 7.4²=54.76, 7.5²=56.25이므로 두 수 모두 √50보다 크다. 7.1²=50.41 역시 50보다 조금 크고, 7²=49는 50보다 작다. 따라서 √50은 7과 7.1 사이에 있으며, 소수 첫째 자리까지 나타내면 7.1이다.
학생에게는 계산 결과만 고치게 하지 않았다. “7과 8 사이”라는 첫 판단 뒤에 바로 중간값을 쓰지 않고, “후보를 제곱해서 50의 양쪽에 놓이는지 확인한다”는 행동을 한 줄로 적게 했다. 이렇게 해야 숫자가 달라져도 같은 절차를 꺼낼 수 있다.
제곱근의 위치를 먼저 좁히는 순서
방과 후 이동 시간이 일정하지 않은 석관동 학생은 긴 문제 풀이보다 한 문항의 판단 과정을 짧게 기록하는 방식으로 학습을 이어 갔다. 석관중학교에서 귀가하거나 석관동코롱아파트·석관동코오롱아파트 주변 생활권으로 이동한 뒤 확보한 자습시간에는 다음 네 가지 표시만 남겼다.
- 어느 두 자연수의 제곱 사이에 있는지 찾기
- 소수 후보를 정하기
- 후보를 제곱하여 원래 수와 비교하기
- 요구한 자리에서 반올림하기
예를 들어 √30은 5²=25, 6²=36이므로 5와 6 사이이다. 5.4²=29.16, 5.5²=30.25이므로 √30은 5.4와 5.5 사이에 있다. 소수 첫째 자리까지는 5.5가 아니라, 5.5가 30보다 크다는 사실을 확인한 뒤 5.4 쪽에서 더 세밀하게 판단해야 한다. 5.47²=29.9209, 5.48²=30.0304이므로 √30≈5.5이다. 여기서 필요한 것은 특정 답을 외우는 일이 아니라, 요구한 자리보다 한 자리 더 세밀하게 비교하는 습관이다.
반올림 자리와 비교 자리를 혼동하지 않기
학생은 “소수 첫째 자리”라는 말을 보고 소수 첫째 자리 숫자를 대충 고른 뒤 멈추곤 했다. 하지만 소수 첫째 자리까지 반올림하려면 소수 둘째 자리에서 올림 여부를 확인해야 한다. √30처럼 실제 값이 5.477…이라면 소수 첫째 자리의 답은 5.5가 된다. 반대로 √26은 5²=25, 6²=36 사이에 있고, 5.1²=26.01이므로 √26은 5.1보다 조금 작다. 5.09²=25.9081, 5.10²=26.01이어서 소수 첫째 자리까지는 5.1이다.
이때 학생이 한 실수는 5.1²=26.01을 보고 “26보다 크니 5.1은 틀렸다”고 결론 내린 것이었다. 근삿값은 정확히 같은 수를 찾는 것이 아니라, 어느 쪽에 가까운지 판단하는 값이다. 5.1과 √26의 차이는 매우 작고, 소수 첫째 자리로 반올림하면 5.1로 표현된다. 따라서 비교 결과를 답의 자리와 함께 해석해야 한다.
계산기를 사용하기 전 종이에 남기는 근거
계산기로 √26을 확인하면 5.099…라는 값을 바로 볼 수 있다. 그러나 계산기 숫자를 먼저 보고 답을 옮기면, 새로운 표현의 문제에서 무엇을 비교해야 하는지 놓칠 수 있다. 풀이에는 반드시 25<26<36을 먼저 쓰고, 5.1² 또는 필요한 후보의 제곱을 적게 했다. 계산기는 마지막 확인에만 사용했다.
제곱근의 근삿값을 분수나 소수의 형태로 바꾸어 제시하는 문제에서도 같은 원칙을 적용했다. 예를 들어 √7은 2²=4, 3²=9 사이에 있다. 2.6²=6.76, 2.7²=7.29이므로 √7은 2.6과 2.7 사이이다. 소수 첫째 자리까지는 2.6이다. 2.65²=7.0225이므로 2.65는 √7보다 크지만, 2.6과 2.7 중 √7에 가까운 쪽은 2.6이다.
같은 개념을 다른 질문으로 바꾸어 확인하기
다음 학습에서는 문제의 구하는 대상을 바꾸었다.
어떤 수 x가 4와 5 사이에 있고, x²은 20에 가장 가까운 한 자리 소수의 제곱이다. x를 구하여라.
학생은 처음에 √20≈4.4만 적었다. 이번에는 4.4²=19.36, 4.5²=20.25를 계산한 뒤 20에 가까운 값을 비교했다. 4.4와 4.5 중 4.5²이 20과의 차이가 0.25, 4.4²은 차이가 0.64이므로 한 자리 소수 근삿값은 4.5라고 설명했다. 앞 문제처럼 두 제곱 사이에 원래 수를 끼워 넣는 방식과는 표현이 달랐지만, 후보를 제곱하고 차이를 확인하는 첫 행동은 스스로 다시 꺼냈다.
마지막으로 √45의 근삿값을 소수 첫째 자리까지 구하게 했다. 학생은 6²=36, 7²=49를 적은 뒤 6.7²=44.89, 6.8²=46.24를 비교하여 √45≈6.7이라고 답했다. 숫자 50이 45로 바뀌고, 처음처럼 답을 바로 추측할 수 없는 조건이 되었지만, 두 자연수의 제곱으로 범위를 정한 다음 후보를 검산하는 흐름은 유지되었다.
석관동에서 중3 수학 학습 시간을 구성할 때는 통학 뒤 남은 짧은 자습시간에도 풀이 한 줄의 근거를 남기는 것이 중요하다. 석관중학교를 지역 내 학교로 보고, 개운중학교·고려대학교사범대학부속중학교·고명중학교·길음중학교는 같은 성북구의 참고 학교로 구분해 학습 일정을 생각할 수 있다. 학교별 출제 수준을 단정하기보다, 실제 학교 프린트나 시험에서 숫자와 요구 자리가 바뀌었을 때도 ‘범위 설정→후보 제곱→자리 판단’이 이어지는지를 확인하는 방식이 적절하다.
제곱근의 근삿값 학습이 끝났다고 판단할 기준은 √50을 다시 맞히는 것이 아니다. √12, √38, √72처럼 새로운 수가 주어졌을 때도 제곱 사이의 범위를 먼저 찾고, 반올림에 필요한 자리까지 후보를 비교하며, 왜 그 수를 선택했는지 설명할 수 있어야 한다.