돈암동고2수학과외

돈암동 고2수학과외: 로그 합·차 공식이 바뀐 줄에서 찾는 오답

돈암동의 성신여자고등학교와 고명외식고등학교는 학교 유형과 주간 일정이 다르므로, 로그방정식 풀이를 확인할 때도 학생이 학교별 프린트와 지필평가 준비 과정에서 실제로 어떤 계산 줄을 남기는지 살펴볼 필요가 있다. 돈암삼성아파트와 돈암동부센트레빌 등 생활권에서 귀가 후 풀이 시간이 짧은 날에는 중간식을 생략하기 쉬운데, 이 단원에서는 생략한 한 줄이 오답의 원인을 가린다.

log₃x+log₃(x−2)를 log₃(2x−2)로 바꾼 순간

답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

log₃x+log₃(x−2)=1
log₃(2x−2)=1
2x−2=3,　x=5/2

이 계산에서 건너뛴 줄이 바로 오답을 만든다. 같은 밑의 로그 합은 진수의 합이 아니라 곱으로 변형해야 한다.

\[ \log_3 x+\log_3(x-2) =\log_3\{x(x-2)\} \]

따라서 먼저 두 로그의 정의조건을 적으면

\[ x>0,\quad x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2 \]

이고, 올바른 계산은

\[ \log_3\{x(x-2)\}=1 \] \[ x(x-2)=3 \] \[ x^2-2x-3=0 \] \[ (x-3)(x+1)=0 \]

후보는 \(x=3,-1\)이지만 정의조건 \(x>2\)를 만족하는 해는 \(x=3\)뿐이다.

대입 하나로 변형식이 원래 식을 보존하는지 확인하기

잘못된 식이 왜 다른지 계산 줄에서 확인하려면 원래 식에 \(x=3\)을 넣어 비교할 수 있다.

원래 식: \[ \log_3 3+\log_3 1=1+0=1 \]
잘못된 변형식: \[ \log_3(2\cdot3-2)=\log_3 4\ne1 \]

즉 \(\log_3x+\log_3(x-2)\)와 \(\log_3(2x-2)\)는 같은 식이 아니다. 합의 진수를 더하는 방식은 로그의 곱셈 공식과 맞지 않는다. 답안에는 다음처럼 변형 근거를 한 줄 남겨야 한다.

\[ \log_a M+\log_a N=\log_a(MN) \quad(M>0,\ N>0) \]

새 조건에서 곱셈 변형을 혼자 선택하는지 확인

이제 앞의 식을 보지 않고 다음 로그방정식을 풀이한다.

\[ \log_2(x-1)+\log_2(x+3)=3 \]

풀이 첫 줄에는 반드시

\[ x-1>0,\quad x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>1 \]

을 적는다. 그다음 합을 진수의 곱으로 바꾸면

\[ \log_2\{(x-1)(x+3)\}=3 \] \[ (x-1)(x+3)=8 \] \[ x^2+2x-3=8 \] \[ x^2+2x-11=0 \] \[ x=-1\pm2\sqrt3 \]

정의조건 \(x>1\)에 따라 \(x=-1+2\sqrt3\)만 남는다. 이 과정에서 진수의 합을 만들지 않고, 곱셈 공식과 정의조건을 각각 기록했다면 새로운 계수와 진수에서도 같은 판단을 재현한 것이다.