돈암동 고3 수학과외: 거리 변화율에서 첫 오류 찾기
돈암동의 성신여자고등학교와 고명외식고등학교를 비롯해 성북구의 여러 학교에 다니는 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다를 수 있다. 이 사례의 학생은 시험지를 고칠 때 마지막 답만 바꾸고, 두 점 사이 거리의 변화율에서 어느 줄부터 잘못되었는지 기록하지 않았다.
두 좌표의 변화가 거리 변화율로 연결되는 과정
두 점의 위치가
A(t)=(t^2,\,2t+1), B(t)=(3t-1,\,t^2)
로 주어지고, t=1에서 두 점 사이 거리의 변화율을 구한다고 하자. 거리의 제곱을 먼저 두면
D(t)^2=(t^2-3t+1)^2+(2t+1-t^2)^2
이다. 양변을 미분하면
2D(t)D'(t)=2(t^2-3t+1)(2t-3)+2(2t+1-t^2)(2-2t)
가 된다. t=1에서
D(1)=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt5
이고,
2D(1)D'(1)=2(-1)(-1)+2(2)(0)=2
이므로
D'(1)=\frac{1}{\sqrt5}
이다.
학생의 최초 오답과 원인
학생의 오답: 2D(t)D'(t)=2(t^2-3t+1)+2(2t+1-t^2)
이 식은 좌표 차이의 제곱을 미분하면서 안쪽 함수인 t^2-3t+1과 2t+1-t^2의 도함수를 각각 곱하지 않은 오답이다. 따라서 최초 오류는 마지막 계산이 아니라, 합성함수의 미분 단계에서 2t-3과 2-2t를 빠뜨린 줄이다.
시험지에서 실제로 고치는 순서
- 틀린 줄 표시: 제곱항을 미분한 줄에 밑줄을 긋고, 안쪽 식의 도함수가 빠졌다고 적는다.
- 조건과 변수 관계 확인: A와 B의 각 좌표가 모두 t의 함수이므로 x좌표와 y좌표를 각각 미분해야 한다.
- 식 수정: (u(t))^2의 미분을 2u(t)u'(t)로 적용해 수정한다.
- 대입 검산: t=1에서 첫 항은 2(-1)(-1)=2, 둘째 항은 2(2)(0)=0인지 확인한다.
- 역계산: 수정된 D'(1)=1/\sqrt5를 2D(1)D'(1)에 넣어 2가 복원되는지 확인한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 같은 유형이지만 위치를
A(t)=(2t+1,\,t^2), B(t)=(t-2,\,3t+1)
로 바꾸고 t=2에서 거리 변화율을 구한다.
좌표 차이는 t+3, t^2-3t-1이므로
D(t)^2=(t+3)^2+(t^2-3t-1)^2
이다. t=2에서 두 차이는 각각 5와 -3이므로 D(2)=\sqrt{34}이다. 미분하면
2DD'=2(t+3)+2(t^2-3t-1)(2t-3)
이고, t=2에서
2\sqrt{34}D'(2)=10+2(-3)(1)=4
따라서
D'(2)=\frac{2}{\sqrt{34}}
이다. 좌표식의 표현이 바뀌어도 각 좌표의 변화율을 빠뜨리지 않고, 거리의 제곱을 미분한 뒤 원래 거리로 나누는 기준을 유지해야 한다.