돈암동고1수학과외, 분수방정식의 해에서 분모 조건 먼저 가리기
성신여자고등학교와 고명외식고등학교처럼 학교별 수업 일정과 평가 준비 시점이 다른 환경에서는, 짧은 시간에 식을 처리하더라도 해의 조건을 놓치지 않는 과정이 필요하다. 돈암삼성아파트나 돈암동부센트레빌 생활권에서 귀가 후 학교 프린트를 풀 때도 분수방정식은 계산보다 먼저 분모를 확인해야 한다.
계산 전에 적어야 하는 제외값
다음 식을 보자.
「(x2−9)/(x−3)=0」
분수의 값이 0이 되려면 분자는 0이어야 하지만, 동시에 분모는 0이 아니어야 한다. 따라서 풀이 첫 줄에
x−3≠0, 즉 x≠3
을 적는다. 그다음 분자를 인수분해하면
(x−3)(x+3)=0
이므로 후보는 x=3 또는 x=−3이다. 그러나 x=3은 처음 적은 제외조건에 걸린다. 실제로 원래 식에 대입하면 분모가 0이 되어 식 자체가 정의되지 않는다. 따라서 최종 해는 x=−3이다.
맞지 않는 해가 생기는 지점
관찰된 풀이에서는 학생이 분모 조건을 적지 않은 채 분자를 0으로 놓고,
x2−9=0 → x=3, −3
이라고 답했다. 이 식의 인수분해와 후보 계산은 맞지만, 원래 분수의 정의 조건을 확인하지 않아 x=3을 해에 포함한 것이 오류다. 분모를 없애거나 분자만 보는 순간에는 후보가 생길 뿐, 최종 해가 확정된 것은 아니다.
분모를 없애는 풀이에도 남겨야 할 흔적
예를 들어
2/(x−4)=6/(x+1)
을 풀 때는 먼저
x−4≠0, x+1≠0 → x≠4, −1
을 기록한다. 이후 양변에 (x−4)(x+1)을 곱하면
2(x+1)=6(x−4)
2x+2=6x−24 → x=13/2
이 값은 4와 −1이 아니므로 해가 된다. 분모를 곱해 식을 간단히 만들었더라도, 그 과정에서 제외한 값이 다시 해가 될 수 있는지 끝에서 확인해야 한다.
훈련할 때 남길 한 가지 문장
오답노트에는 긴 해설 대신 풀이 행동을 바꾸는 문장 하나를 남긴다.
분수방정식은 계산 전에 모든 분모를 0이 아니게 하는 조건을 적고, 계산 후 후보를 원래 식의 조건으로 다시 거른다.
연습할 때는 식 옆에 ‘분모≠0’ 칸을 따로 만들고, 후보를 구한 뒤 그 칸과 대조한다. 정답을 다시 베끼는 대신 제외조건을 실제로 적었는지가 훈련의 기준이 된다.
시간을 줄인 계산 세트에서 확인하기
같은 식을 반복하지 않고, 제한 시간을 둔 짧은 세트에서 분모 조건을 먼저 쓰는지 확인한다. 예를 들어
1/(x−2)+3/(x+2)=0
을 제시하면 계산 전에 x≠2, −2를 적어야 한다. 양변에 (x−2)(x+2)를 곱하면
(x+2)+3(x−2)=0
4x−4=0 → x=1
이고, 1은 제외값이 아니므로 해이다. 시간 제한을 줄인 뒤에도 학생이 답지를 찾기 전에 한 번 더 시도하면서 ‘분모 조건 기록 → 계산 → 최종 대조’의 순서를 스스로 설명한다면, 외운 표시가 아니라 분모가 정의에 미치는 역할을 적용한 것으로 볼 수 있다.