길음동고2수학과외

길음동고2수학과외: 로그 합·차 공식보다 먼저 확인할 진수 조건

“log₃x+log₃(x-2)=log₃(2x-2)”

길음뉴타운 생활권에서 학교별 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 조정하다 보면, 풀이 여백에 공식을 빠르게 적용한 흔적이 남는다. 계성고등학교를 비롯해 성북구 내 학교의 프린트 문제를 점검할 때도 로그방정식은 계산보다 조건을 먼저 기록했는지가 답의 성립을 좌우한다.

x와 x-2가 각각 로그의 진수라는 사실

문제는 다음과 같다.

log₃x+log₃(x-2)=1

학생은 두 로그를 합치면서 진수의 곱이 아니라 합을 사용해 다음과 같이 적었다.

log₃x+log₃(x-2)=log₃(2x-2)

이 식은 로그의 합 공식에 맞지 않는다. 밑이 같은 로그의 합은

log_aM+log_aN=log_a(MN)

이므로 올바른 변형은

log₃{x(x-2)}=1

이다. 또한 공식 적용 전부터 두 진수가 모두 양수여야 한다.

x>0,　x-2>0　이므로　x>2

계산한 근을 범위 안에서만 답으로 남기기

조건을 적은 뒤 방정식을 풀면

x(x-2)=3
x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0

후보는 x=3, x=-1이다. 그러나 진수 조건 x>2를 만족하는 값은 x=3뿐이다. 실제로 대입하면

log₃3+log₃1=1+0=1

이 되어 원래 식도 성립한다. 반면 x=-1은 log₃(-1)이 포함되므로 실수 범위의 로그방정식 해가 될 수 없다.

풀이를 고칠 때는 조건·부호·범위·공식 중 무엇이 틀렸는지 한 항목만 표시하게 한다. 이 사례에서는 ‘공식’에 표시하고, 바로 아래에 “합은 곱으로 결합”이라고 적는다. 이어서 두 진수 옆에 각각 x>0, x-2>0을 써서 교집합 x>2를 만든다. 이렇게 하면 계산 중 얻은 후보를 조건 없이 답으로 옮기는 행동도 함께 막을 수 있다.

경계값이 달라져도 진수 조건을 먼저 판정하는가

다음 식으로 적용 여부를 확인한다.

log₃(x-1)+log₃(x-4)=2

먼저 x-1>0, x-4>0이므로 범위는 x>4이다. 그다음에만 합 공식과 밑의 정의를 적용한다.

log₃{(x-1)(x-4)}=2
(x-1)(x-4)=9
x²-5x-5=0

따라서

x=(5±3√5)/2

이고, x>4를 만족하는 것은 (5+3√5)/2 하나다. 작은 근은 4보다 작아 진수 x-4가 음수가 되므로 제외한다. 숫자와 경계값이 바뀌어도 진수 조건을 먼저 적고, 곱의 형태로 변형한 뒤, 마지막에 범위로 후보를 걸러내는 순서가 유지되는지를 풀이에서 확인한다.