거리식의 제곱근을 끝까지 추적하는 변화율 풀이
길음동 고3수학과외 수업에서 학생은 계성고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 길음뉴타운에서의 평일 귀가 시간을 함께 고려해 풀이 시간을 나누고 있다. 이때 좌표평면에서 움직이는 점의 거리를 다루며, 계산보다 무엇이 변하고 어떤 함수가 그 변화를 나타내는지를 먼저 확인했다.
거리의 대상과 시간 변수를 먼저 정하기
시각을 t라 하고 두 점을 다음과 같이 두었다.
P(t)=(t, 2t), Q=(3, 1)
두 점 사이의 거리는 좌표 차이로부터
d(t)=√{(t-3)2+(2t-1)2}=√(5t2-10t+10)
이다. 여기서 변화하는 대상은 거리 d이고, 변화의 기준은 시간 t이므로 구해야 할 값은 d'(t)이다. 예를 들어 t=2에서는 P=(2,4), Q=(3,1)이므로 실제 거리는 √10이다.
제곱근 전체를 미분하지 않은 오답
오답: d'(t)=10t-10, 따라서 t=2에서 d'(2)=10
이 식은 거리의 제곱인 5t2-10t+10만 미분하고 바깥의 제곱근을 빠뜨린 것이다. d(t)=√u(t)=u(t)1/2이므로 연쇄법칙에 따라
d'(t)=u'(t)/(2√u(t))
를 사용해야 한다. 따라서
d'(t)=(10t-10)/(2√(5t2-10t+10))
=5(t-1)/√(5t2-10t+10)
이고, t=2에서
d'(2)=5/√10
이다. 거리의 순간변화율은 10이 아니라 약 1.58이며, 단위도 시간당 거리로 해석해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 역계산으로 확인하기
- 틀린 줄 표시: d'(t)=10t-10에서 제곱근의 분모가 누락되었음을 표시한다.
- 관계 확인: 거리 d와 거리의 제곱 d2는 같은 함수가 아니므로, d2을 미분한 값은 d의 변화율이 아니다.
- 식 수정: d2=5t2-10t+10을 미분하면 2dd'=10t-10이므로 d'=(10t-10)/(2d)로 고친다.
- 대입 검산: t=2에서 d=√10을 대입해 d'=5/√10을 얻는다.
또한 t=1에서는 두 좌표 차이가 (-2,1)에서 변화 방향의 내적이 0이므로 d'(1)=0이다. 수정된 공식도 5(1-1)/√5=0을 주지만, 오답식 10t-10 역시 우연히 0을 주므로 특정 값 하나만으로 공식을 판단하면 안 된다.
계수를 바꾼 독립 검증
새 문제에서는
P(t)=(t,3t), Q=(1,-2)
로 바꾸고 t=1에서 두 점 사이 거리의 변화율을 구한다.
d(t)=√{(t-1)2+(3t+2)2}
=√(10t2+10t+5)
따라서
d'(t)=(20t+10)/(2√(10t2+10t+5))
이고, t=1에서 d(1)=√25=5이므로
d'(1)=30/(2·5)=3
이다. 제곱근을 무시한 답은 20t+10, 즉 30이 되어 실제 변화율과 다르다. 새 계수에서도 거리의 제곱을 미분한 뒤 반드시 2d로 나누어야 한다는 근거와 검산을 먼저 확인했다.