길음동고1수학과외, 치환한 해를 원래 변수로 되돌리는 법
고1 수학에서 복잡한 식을 간단히 바꾸기 위해 x²=t와 같은 치환을 사용한다. 이때 t에 대한 방정식을 푸는 것만으로는 원래 문제의 답이 완성되지 않는다. 새 문자 t의 해를 다시 x의 값으로 바꾸는 과정에서 해의 개수와 조건을 확인해야 한다.
t의 답만 적고 멈춘 풀이
학교 프린트에서 다음 방정식을 다루던 중이었다.
x⁴-5x²+4=0
학생은 x²=t라고 치환하여
t²-5t+4=0
(t-1)(t-4)=0
t=1 또는 t=4
까지 정확히 계산했다. 그러나 답란에는 t=1, 4만 적었다. 원래 방정식의 변수는 t가 아니라 x이므로, 여기서 풀이를 끝내면 문제에서 요구한 해를 제시하지 못한 상태다.
x²=t에서 각각 어떤 x가 나오는가
치환의 뜻을 다시 원래 문자에 연결하면 다음과 같다.
- t=1이면 x²=1이므로 x=1 또는 x=-1
- t=4이면 x²=4이므로 x=2 또는 x=-2
따라서 원래 방정식의 해는 x=-2, -1, 1, 2이다. t의 양의 해 하나마다 x의 해가 두 개씩 생길 수 있다는 점을 놓치면 해가 네 개에서 두 개로 줄어든다.
치환한 문자의 해를 얻은 뒤에는 반드시 ‘원래 문자로 되돌리기’ 줄을 따로 남긴다. 이 문제에서는 t=1, 4에서 멈추지 않고 x²=1, x²=4를 각각 작성해야 한다.
학생의 풀이 흔적을 바꾸는 체크 방식
새 문자와 원래 문자의 대응을 적지 않았던 학생에게는 계산 옆에 다음 세 칸을 만들게 했다.
- 치환: x²=t
- 얻은 해: t=1, 4
- 되돌리기: x=±1, ±2
이 표시는 단순한 메모가 아니라 해의 누락을 막는 수학적 연결이다. 특히 x²=a에서 a가 양수이면 x=±√a로 돌아가야 하며, t의 값을 그대로 최종 답처럼 쓰지 않는다. 마지막에는 네 값을 원래 식에 대입해 확인할 수 있다. 예를 들어 x=-2이면 16-20+4=0이고, x=1이면 1-5+4=0이다.
서술형에서는 식·근거·결론을 분리한다
서술형 답안이라면 다음처럼 남기는 것이 적절하다.
x²=t로 놓으면 t²-5t+4=0이다.
(t-1)(t-4)=0이므로 t=1 또는 t=4이다.
따라서 x²=1 또는 x²=4이므로 x=±1, ±2이다.
그러므로 해는 x=-2, -1, 1, 2이다.
여기서 첫 줄은 치환, 둘째 줄은 새 방정식의 해, 셋째 줄은 원래 변수로의 복원, 마지막 줄은 결론이다. 학생이 t값만 적는 경우는 계산 과정 일부는 수행했지만 치환의 역변환과 결론 정리가 아직 연결되지 않은 상태로 볼 수 있다.
길음뉴타운 생활 시간에 적용하는 변형 확인
계성고등학교의 학교 프린트 범위와 수행평가 일정을 확인한 뒤, 길음뉴타운에서 귀가 후 확보한 짧은 시간에는 같은 예제를 반복하기보다 다음 변형을 제시할 수 있다.
y⁴-10y²+9=0
학생이 순서를 안내받지 않고 먼저 치환을 선택하는지 본다. y²=t로 두면
t²-10t+9=0
(t-1)(t-9)=0
이므로 t=1 또는 t=9이다. 다시 y²=1, y²=9를 풀어 y=-3, -1, 1, 3을 얻어야 한다. 관찰할 때는 답만 보지 않고, 식 옆에 원래 문자로 돌아가는 줄을 스스로 남겼는지 확인한다.
조건이 바뀌어도 빠진 값이 없는지
마지막으로 같은 식에 x>0이라는 조건을 붙여 묻는다.
x⁴-5x²+4=0의 전체 해는 -2, -1, 1, 2이지만 x>0이므로 조건을 만족하는 해는 x=1, 2뿐이다. 학생이 t의 해만 제시하지 않고, 원래 변수로 복원한 뒤 조건에 맞지 않는 값을 걸러 내는지까지 확인해야 한다. 이렇게 식·근거·결론을 각각 점검하면 치환 뒤 해를 빠뜨리는 오류를 새로운 문제에서도 스스로 줄일 수 있다.